Enunciado

Você projetou uma portinhola para gato, feita de um pedaço quadrado de madeira compensada de 2,54   c m de espessura e 15,24   c m de lado, articulada em cima. Para que o gato tenha tempo suficiente para atravessar a portinhola com segurança, ela deve ter um período natural de ao menos 1,0   s . O seu projeto vai funcionar? Se não, explique qualitativamente o que você precisaria fazer para que ele passe a funcionar.

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo físico:

T = 2 π   I M g D

A distância D entre o ponto fixo e o centro de massa é:

D = h 2

Onde h é a altura da portinhola. Falta ainda encontrar uma expressão para o momento de inércia I da portinhola, em relação a um eixo que é paralelo a um dos lados.

Passo 2

Vamos fazer um esquema da situação (não vamos representar a espessura a para deixar o desenho mais claro, mas lembre que ela está lá):

E para calcular o momento de inércia, vamos precisar de uma expressão para a densidade da porta:

ρ = m V = m h l a

E vamos montar a integral para calcular o momento de inércia. Vamos integrar “faixas” de massa d m que estão a uma distância y do nosso eixo:

d I = y 2 d m

d I = y 2 ρ d V

E o volume d V pode ser expresso como a l   d y , já que estamos variando apenas a distância y na direção da altura:

d I = y 2   ρ a l   d y

Agora vamos integrar isso quando y varia de 0 até h :

I = ρ a l ∫ 0 h y 2   d y

I = ρ a l   h 3 3

Substituindo a nossa expressão para ρ :

I = m h l a a l   h 3 3

I = 1 3   m h 2

Passo 3

Agora vamos voltar à expressão para o período do pêndulo físico:

T = 2 π   I M g D

T = 2 π   1 3 m h 2 m g h 2

T = 2 π   2 h 3 g

E substituindo os valores numéricos:

T = 2 π   2 0,1524 ( 3 ) ( 9,81 ) = 0,64   s

Mas o enunciado mencionou que o gato precisava de pelo menos 1,0   s para poder atravessar a porta. Olhando para a fórmula, a única forma de atingir isso seria aumentando a altura h .

Resposta

O projeto não vai funcionar, pois produziria um período de 0,64   s . É preciso aumentar a altura da porta.

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