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Uma bola de gude de 5,0   g é lançada verticalmente para cima usando uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de exatamente 8,0   c m para que a bola alcance um alvo colocado 20   m acima da posição da bola de gude na mola comprimida. (a) Qual é a variação ∆ U g da energia potencial gravitacional do sistema bola de gude-Terra durante a subida de 20   m ? (b) Qual é a variação ∆ U k da energia potencial elástica da mola durante o lançamento da bola de gude? (c) Qual é a constante elástica da mola?

Passo 1

A equação da energia potencial gravitacional é:

U g = m g h

Considerando o ponto de compressão máxima da mola como y = 0 e fazendo a variação da energia potencial deste ponto até o ponto que atinge y = 20   m , temos:

∆ U g = 5 × 10 - 3 × 9,8 × 20 - 0 = 0,98   J

Passo 2

Como somente duas forças atuam sobre a bola durante entre o instante de compressão máxima e o instante que a bola atinge a altura de 20   m , sendo elas a força gravitacional e a força elástica. Sabendo também que na compressão máxima e no instante em que a bola alcança a altura máxima a velocidade é nula, aplicando o teorema trabalho-energia cinética, temos:

∆ K = W t o t a l

0 = W g + W e l

Como ambas as forças são conservativas, então o trabalho de cada força é a negativa da variação da energia potencial associado a elas, assim:

0 = - ∆ U g - ∆ U e l

Assim:

∆ U e l = - ∆ U g = - 0,98   J

Passo 3

Sabendo que a equação da energia potencial elástica é:

U e l = k x 2 2

Então:

k x f 2 2 - k x 0 2 2 = - 0,98

Sabendo que x 0 = 8 × 10 - 2   m e que x f = 0 , então:

0 - k × 8 × 10 - 2 2 2 = - 0,98

Isolando k :

k = 2 × 9,8 8 × 10 - 2 2 = 3,06 × 10 3   N / m

Resposta

  1. ∆ U g = 0,98   J ;
  2. ∆ U e l = - 0,98   J ;
  3. k = 3,06 × 10 3   N / m .

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