Enunciado

28. A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por   U x = 3 x 2 - 2 x 3 , onde U está em joules e x está em metros.

(a) Determine a força associado a esta função de energia potencial.

(b)Supondo que não haja outras forças atuando sobre ocorpo , em que posições esse corpo está em equilíbrio?

(c) Quais destas posições de equilíbrio são estáveis ​​e quais são instáveis?

Passo 1

a) Novamente, o primeiro caminho para se resolver o problema é analisar a relação entre a energia potencial e a força atuante, onde F x é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a x ,ou seja, F x = - d U / d x . Sendo assim, para determinar a força associada:

F x = - d U d x

F x = - d ( 3 x 2 - 2 x 3 ) d x

F x = - d 3 x 2 d x + d ( 2 x 3 ) d x

F x = - 6 x + 6 x 2

F x = 6 x ( x - 1 )

Passo 2

b) O corpo está em equilíbrio, no caso, quando nenhuma força está agindo sobre ele. Ou seja as posições em que o corpo estará em equilíbrio, mais especificamente, serão aquelas em que F x   será igual a zero.

F x = 0

6 x x - 1 = 0

6 x = 0  

x = 0

  x - 1 = 0

x = 1

x = 0     e   x = 1

Passo 3

c) Por fim, para decidir se o equilíbrio em um ponto particular é estável ou instável, é necessário avaliar a segunda derivada da função energia potencial no ponto de interesse, no caso os pontos em que F x   é igual a zero. Se o valor da segunda derivada resultar em um valor negativo, o equílibrio será instavel, porém se o valor da segunda derivada for positivo, o equilíbrio será estável. Resta então, calcular d 2 U / d x 2 :

d U d x = d ( 3 x 2 - 2 x 3 ) d x = 6 x - 6 x ²

Logo:

d 2 U d x 2 = d ( 6 x - 6 x 2 ) d x = 6 - 12 x

Agora, basta substituir os dois pontos de interesse na expressão da segunda derivada e verificar se o valor encontrado é positivo ou negativo:

Para x = 0 :

d 2 U d x 2 x = 0 = [ 6 - 12 x ] x = 0 = 6

Para x = 1 :

d 2 U d x 2 x = 1 = [ 6 - 12 x ] x = 1 = - 6

Resposta

a )   F x = 6 x x - 1 N

b )   E s t á   e m   e q u i l í b r i o   n a s   p o s i ç õ e s   x = 0     e   x = 1

c ) E m   x = 0   o   e q u í l i b r i o   é   e s t á v e l   e   e m   x = 1 ,   o   e q u i l í b r i o   é   i n s t á v e l

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