Enunciado

Calcule o torque, em relação à origem, da força gravitacional F → = - m g j ^ que atua sobre uma partícula de massa m localizada em r → = x i ^ + y j ^ , e mostre que este torque é independente da coordenada y .

Passo 1

Falaa! Queremos calcular o torque causado por

F → = - m g j ^

Em uma partícula que está na localização:

r → = x i ^ + y j ^

Não se assusta com essa notação, tá? Vamos considerar m , g , x e y como constantes nas nossas continhas.

Nessa questão, é bem fundamental lembrar da formula vetorial de torque:

  τ → = r → × F →

Percebe que temos r → e F → , então se a gente jogar esses vetores nessa fórmulinha, já achamos o torque τ → que ele pediu. No meio das continhas, vamos ver também porque a coordenada y de r → não influencia no nosso torque, como o enunciado pede.

Vamos!

Passo 2

Temos a fórmulinha

τ → = r → × F →

Vamos substituir nossos vetores aí

τ → = x i ^ + y j ^ × - m g j ^

Esse × indica um produto vetorial. Então temos que calcular um produto vetorial.

Tem várias formas. Vamos usar o método do determinante, tá? Então a gente reescreve nosso produto vetorial assim τ → = x i ^ + y j ^ + 0 k ^ × 0 i ^ - m g j ^ + 0 k ^

τ → = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 - m g 0

Calculando esse carinha, temos:

τ → = y 0 - - m g 0 i ^ - x 0 - 0 0 i ^ + x - m g - y 0 k ^

Percebe que y sempre aparece multiplicado por 0 , por isso a gente pode dizer que ele não influencia no resultado final!

Isso acontece porque y está na componente j ^ do vetor posição. Como nossa força só tem componente j ^ também, o produto vetorial entre essas duas componentes se anula

j ^ × j ^ = 0

Logo y não contribui para o valor do torque.

Passo 3

Agora calculando o que ficou para achar o valor do torque

τ → = y 0 - - m g 0 i ^ - x 0 - 0 0 i ^ + x - m g - y 0 k ^

τ → = 0 i ^ - 0 j ^ - m g x   k ^

τ → = - m g x k ^

Resposta

τ → = - m g x k ^

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