Enunciado

9 . Uma camada fina e uniforme de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de 12,0   c m , produzindo uma carga de - 49,0   μ C . Determine o campo elétrico ( a ) dentro da camada de tinta; ( b ) fora da camada de tinta; ( c ) 5,00 cm fora da superfície da camada de tinta.

Passo 1

Vem comigo que a gente vai se livrar dessa juntos!

Para encontrar o campo elétrico em cada região pedida vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor, dada por:

∮ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Onde S é a superfície Gaussiana que vamos utilizar para envolver a região que vamos analisar.

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio r < 6   c m (raio da esfera plástica), vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

Onde q i é a carga dentro dessa superfície que traçamos. Mas segundo o enunciado só temos carga na camada de tinta, logo q i = 0 , então:

∮ E → ⋅ d A → = 0

⇒ E → = 0

Passo 3

Agora o item ( b ) .

Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio r = 0,06   m que é bem dizer fora da camada de tinta já, vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

Como o elemento de área d A → é radial, logo paralelo a E → , temos que:

∮ E d A = q i ϵ 0

Como o campo é homogêneo, temos:

E ∮ d A = q i ϵ 0

A integral do elemento de área d A , nada mais é do que a área da casca esférica, logo:

E 4 π r 2 = q i ϵ 0

⇒ E = 1 4 π ϵ 0 q i r 2

Substituindo os valores, temos:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 49 × 10 - 6 ( 0,0 6 ) 2

⇒ E = 1,22 × 10 8   N / C

Esse é o campo fora da camada de tinta.

Passo 4

Por último o item ( c ) .

Agora para achar o campo elétrico 5   c m fora da superfície basta usarmos a equação que encontramos para o campo no item anterior para r = 6   c m + 5   c m = 0 , 11   m . Então:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 49 × 10 - 6 ( 0 , 11 ) 2

= 49 × 10 - 6 1,346 × 10 - 12

Assim temos que:

E = 3 , 6 4 × 10 7   N / C

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

E = 0

( b )

E = 1,22 × 10 8   N / C

( c )

E = 3,64 × 10 7   N / C

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