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Um capacitor é construído com duas cascas cilíndricas condutoras, finas e coaxiais, de raios a e b ( b > a ) que têm comprimento L ≫ b . Uma carga + q está no cilindro interno e uma carga - Q está no cilindro externo. A região entre os dois cilindros está preenchida com um material que tem constante dielétrica κ . (a) Determine a diferença de potencial entre os cilindros. (b) Determine a densidade de carga livre σ 1 no cilindro interno e no cilindro externo. (c) Determine a densidade de carga ligada σ b na superfície do cilindro interno do dielétrico e na superfície cilíndrica externa do dielétrico. (d) Determine a energia total armazenada. (e) Se o dielétrico se move sem atrito, quanto trabalho mecânica é necessário para remover a casca cilíndrica dielétrico?

Passo 1

Fala galera, tudo de boa?

  1. Lembre-se que a capacitância de um capacitor cilíndrico com dielétrico κ é dada por:
  2. C = 2 π ε 0 κ L ln ⁡ b / a

    Sendo assim, temos que

    V = Q C = Q ln ⁡ b / a 2 π ε 0 κ L

  3. Pela definição de densidade de carga, temos
  4. σ 1 = Q A 1 = Q 2 π a L

    σ 2 = - Q A 2 = - Q 2 π b L

  5. Vamos lembrar do seguinte: quando colocamos um dielétrico, o campo elétrico cai por um fator κ . Dessa maneira, o campo elétrico no interior do dielétrico é
  6. E = E 0 κ

    Assim, a diminuição no campo elétrico é:

    Δ E = E - E 0 = κ - 1 κ E 0

    Porém, Δ E é o campo gerado pela carga ligada e E 0 é gerado pela carga total. Sendo assim,

    Q b = κ - 1 κ Q

    No ponto a , temos

    Q b a = - κ - 1 κ Q

    E no ponto b , temos

    Q b b = κ - 1 κ Q

    Dessa forma, temos que

    σ a = Q b a 2 π a L = - Q κ - 1 2 π a L κ

    σ B = Q b b 2 π b L = Q κ - 1 2 π b L κ

    Passo 2

  7. Temos que a energia é dada por:
  8. U = 1 2 Q V = 1 2 Q Q ln ⁡ b / a 2 π ε 0 κ L U = Q 2 ln ⁡ b / a 4 π ε 0 κ L

  9. Notemos que, quando o dielétrico é retirado, a energia cresce por um fator κ . Sendo assim, temos U ' = κ U . O trabalho será:

W = U ' - U = U κ - 1 W = Q 2 ln ⁡ b / a 4 π ε 0 κ L κ - 1

Bem, é isso galera :D

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