Enunciado

Um capacitor possui duas placas paralelas com área A separadas por uma distância d . O espaço entre as placas está preenchido com um material que possui constante dielétrica K . O material não é um isolante perfeito, mas possui resistividade ρ . O capacitor tem carga inicial de módulo   Q 0 em cada placa que gradualmente se descarrega devida à condução através do dielétrico.

a Calcule a densidade da corrente de condução j c t no dielétrico.

b Mostre que em qualquer instante a densidade de corrente de deslocamento no dielétrico é igual em módulo à densidade da corrente de condução, mas com sentido contrário, de modo que a densidade de corrente total é igual a zero em todo instante.

Passo 1

Vamos aplicar a lei de Ohm ao dielétrico para relacionarmos a corrente no dielétrico com a carga nas placas, dessa forma obtemos

i t = v t R   i  

Do capacitor nós devemos lembrar que

v t = q t C ,     C = K ⋅ ϵ 0 A d

v t = d K ϵ 0 A ⋅ q t

Sendo assim, substituindo a expressão acima em i vamos obter

i t = d K ϵ 0 A ⋅ q t R

Agora, precisamos lembrar que é possível escrever R como sendo R = ρ d A e também que nossa corrente é nada mais nada menos que i t = - d q d t daí nós conseguimos extrair a seguinte equação diferencial

- d q d t = d K ϵ 0 A ⋅ q t ⋅ A ρ d = q t K ϵ 0 ρ

d q q = - 1 K ϵ 0 ρ d t

Integrando ambos os lados vamos obter

∫ Q 0 q d q q = - 1 K ϵ 0 ρ ⋅ ∫ 0 t d t → ln ⁡ q Q 0 = - t K ϵ 0 ρ → q t = Q 0 ⋅ e - t K ϵ 0 ρ

A expressão para i t vamos obter derivando a expressão acima em relação ao tempo, então

i t = - d q d t = - Q 0 K ρ ϵ 0 ⋅ e - t K ϵ 0 ρ

Portanto, nossa expressão para densidade de corrente de condução será

J c t = i t A = - Q 0 K ρ ϵ 0 ⋅ e - t K ϵ 0 ρ A = - Q 0 A K ρ ϵ 0 ⋅ e - t K ϵ 0 ρ

Passo 2

Agora para encontrarmos a densidade de corrente de deslocamento façamos

E t = q t ϵ A = q t K ϵ 0 A

Dessa forma, a densidade de corrente de deslocamento será

J d t = ϵ ⋅ d E d t = K ϵ 0 ⋅ d q t d t K ϵ 0 A = - i c t A = - J c t

Pronto, está resolvido o nosso problema.

Resposta

a   J c t = - Q 0 A K ρ ϵ 0 ⋅ e - t K ϵ 0 ρ

b D e m o n s t r a ç ã o

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