Enunciado

Partindo da equação 30.9 , deduza com detalhes a equação 30.11 para a densidade de energia de um toróide preenchido com um material magnético.

Passo 1

Partindo da equação 30.9 temos que a energia U armazenada no solenoide toroidal quando passa uma corrente I por meio dele é dada por

U = 1 2 ⋅ L I 2     i

Vamos, agora, reescrever L da seguinte forma

L = μ 0 ⋅ N 2 ⋅ A 2 π r     i i

Dessa forma, se substituirmos i i em i vamos encontrar

U = 1 2 ⋅ μ 0 ⋅ N 2 ⋅ A 2 π r     ⋅ I 2 = μ 0 ⋅ N 2 ⋅ A ⋅ I 2 4 π r   i i i  

Deixando um pouco de lado a equação acima por enquanto vamos ter que a energia por unidade de volume ou também chamada de densidade de energia magnética é dada por

u = U V = U 2 π r ⋅ A = μ 0 ⋅ N 2 ⋅ I 2 2 ⋅ 2 π r 2     i v

Podemos expressar esse resultado em termos do módulo B do campo magnético dentro do solenoide toroidal e assim, obteremos

B = μ 0 N I 2 π r

Com isso podemos inferir que

N 2 I 2 2 π r 2 = B 2 μ 0 2     v

Portanto, substituindo v em i v vamos encontrar

u = B 2 2 ⋅ μ 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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