Enunciado

Um bastão de silício puro   r e s i s t i v i d a d e   ρ = 2300 Ω ⋅ m transporta uma corrente. O campo elétrico varia senoidalmente com o tempo, de acordo com E = E 0 , em que E 0 = 0.45 V / m , ω = 2 π f e a frequência f = 120 H z .

a Determine o módulo da densidade máxima de condução no fio.

b Supondo ϵ = ϵ 0 , ache a densidade máxima da corrente de deslocamento no fio e compare com o resultado do item a .

c Em qual frequência f as densidades máximas de condução e de deslocamento se igualam, se ϵ = ϵ 0 (o que não é o caso)?

d Na frequência obtida no item c , qual é a fase relativa das correntes de condução e de deslocamento?

Passo 1

Temos que d densidade da corrente de condução está relacionada ao campo elétrico pela lei de Ohm. A densidade da corrente de deslocamento está relacionada à taxa de variação do campo elétrico por

J c = ϵ ⋅ d E d t

Sendo assim, vamos ter que

J c m á x = E 0 ρ = 0.45   V / m 2300 Ω ⋅ m ≈ 1.96 ⋅ 10 - 4   A / m 2

Passo 2

Já para o segundo caso vamos ter

J d m á x = ϵ 0 ⋅ d E d t m á x = ϵ 0 ⋅ ω ⋅ E 0 = 2 π ϵ 0 ⋅ 120 H z ⋅ 0.45 V m ≈ 3,0 ⋅ 10 - 9   A / m 2

Agora, se quisermos as duas densidades iguais faremos

J c = J d → E 0 ρ = ω ⋅ ϵ 0 ⋅ E 0 → ω = 1 ρ ⋅ ϵ 0 ≈ 4.91 ⋅ 10 7   r a d / s

Agora, para encontramos a frequência f que faz essas duas densidades serem iguais devemos nos lembrar que

ω = 2 π f → f = ω 2 π = 4.91 ⋅ 10 7 r a d / s 2 π ≈ 7.82 ⋅ 10 6   H z

Por fim, devemos observar que as duas densidades de corrente estão fora de fase em 90 ° porque onde tem uma função senoidal e a outra possui um cosseno, de modo que a corrente deslocada conduz a corrente de condução em 90 ° .

Resposta

a   J c m á x = 1.96 ⋅ 10 - 4   A / m 2

b J d m á x = 3,0 ⋅ 10 - 9   A / m 2

c   f = 7.82 ⋅ 10 6 H z

d   90 °

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