Enunciado

Um capacitor tem placas quadradas, cada uma com lado a , fazendo um ângulo θ com a outra, conforme indicado na Fig. 30-34. Mostre que para um ângulo θ pequeno, a capacitância é dada por

C = ϵ 0 a 2 d 1 - a θ 2 d

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em duas tiras diferenciais que estão efetivamente em paralelo.)

Passo 1

Divida a faixa de largura a em N segmentos, cada um com largura Δx=a/N. A capacitância de cada faixa é Δ C = ϵ 0 a Δ x / y . Se θ é pequeno então

1 y = 1 d + x s i n ⁡ θ ≈ 1 d + x θ ≈ d ( 1 - x θ / d ) .

Como as capacitâncias paralelas se somam,

C = ∑ Δ C = ϵ 0 a d ∫ 0 a   ( 1 - x θ / d ) d x = ϵ 0 a 2 d 1 - a θ 2 d .

Resposta

ϵ 0 a 2 d 1 - a θ 2 d .

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