Enunciado

A Figura 17.11 mostra um corte em um capacitor cilíndrico carregado com carga Q . Os raios dos cilindros interno e externa são a e b , respectivamente. O cilindro interno, de massa m , pode deslizar sem atrito em um eixo isolante, de forma que sua coordenada vertical é variável. Calcule o valor de y para o qual o peso do cilindro interno é compensado pela força vertical elétrica que o outro cilindro faz sobre ele.

Passo 1

A primeira coisa que devemos lembrar é a capacitância de um capacitor cilindro de comprimento L e raios interno a e externo b :

C = 2 π ϵ o L ln ⁡ b a

Nesse caso, o comprimento do capacitor será a distância y que o cilindro interno penetra no cilindro externo, de modo que

C y = 2 π ϵ 0 y ln ⁡ b a

Como a carga acumulada nas placas do capacitor é constante e igual a Q , podemos escrever a energia potencial V do sistema por

V = Q 2 2 C

Passo 2

A força que atua sobre o cilindro externo será então

F y = - d V d y = - d V d C ⋅ d C d y

Note que

d V d C = - Q 2 2 C 2

Assim,

F y = Q 2 2 C 2 ⋅ d C d y

Mas note que

d C d y = 2 π ϵ 0 ln ⁡ b a = C y

Logo,

F y = Q 2 2 C 2 ⋅ C y = Q 2 2 C y

Substituindo a expressão de C :

F y = Q 2 2 ⋅ 2 π ϵ 0 y ln ⁡ b a ⋅ y = Q 2 ln ⁡ b a 4 π ϵ 0 y 2

Para que o cilindro seja sustentado, essa força deve se igualar ao peso P = m g do cilindro:

m g = Q 2 ln ⁡ b a 4 π ϵ 0 y 2

Daí,

y = Q 2 ln ⁡ b a 4 π ϵ 0 m g

Resposta

y = Q 2 ln ⁡ b a 4 π ϵ 0 m g

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