Enunciado

Os capacitores 1,2 e 3 têm capacitâncias iguais a 2,00   μ F , 4,00   μ F e 6,00   µ F , respectivamente. Os capacitores são conectados em paralelo e a combinação é conectada aos terminais de uma fonte de 200   V . A seguir, os capacitores são desconectados da fonte de tensão e uns dos outros, e então conectados a três interruptores, como mostra a Figura 24-42.

(a) Qual é a diferença de potencial em cada capacitor quando as chaves S 1 e S 2 estão fechadas, mas S 3 permanece aberta?

(b) Depois que a chave S 3 é fechada, qual é a carga final na placa esquerda de cada capacitor?

(c) Calcule a diferença de potencial em cada capacitor depois que a chave S 3 é fechada.

Passo 1

Antes de conectarmos qualquer chave, reparem que a tensão em cima de cada capacitor é 200   V , afinal eles forma todos conectados em paralelo com uma fonte de 200   V antes de serem colocados nessas posições...

Passo 2

L e t r a   A :

Bem, imagina que as chaves S 1 e S 2 estão fechadas...

Como o circuito ainda continua aberto, porque C 3 não fechou, cada tensão permanece ainda do mesmo jeito que estava...

Passo 3

L e t r a   B :

Quando a chave S 3 é fechada...

Vamos ter um rebalanceamento de cargas no circuito, e para vermos como vai ser esse rebalanceamento, tenha sempre em mente que ramo que é negativo, sempre será negativo, ramo que é positivo, sempre será positivo. Mais pra frente você vai entender por que, mas primeiro, vamos calcular qual é as cargas em cada capacitor antes um pouquinho antes da chave C 3 se fechar, pode ser?

Sabendo que os capacitores 1,2 e 3 têm capacitâncias iguais a 2,00   μ F , 4,00   μ F e 6,00   µ F e que a relação fundamental de um capacitor é Q = C V ...

Q 1 i = C 1 V 1 i   →

Onde i é de inicial (antes da chave se fechar). Antes da chave se fechar a tensão em cima do primeiro capacitor é 200   V assim como a tensão em todos os outros, então...

Q 1 i = 2 μ ⋅ 200   →

Q 1 i = 400 μ C

Q 2 i = C 2 V 2 i = 4 μ ⋅ 200     →

Q 2 i = 800 μ C

De modo análogo...

Q 3 i = 1200 μ C

Passo 4

SHOW!

Agora vamos olhar novamente para a sentença que citei no passo anterior...

“tenha sempre em mente que ramo que é negativo, sempre será negativo, ramo que é positivo, sempre será positivo”.

Então olha só, nesse ramo que conecta o capacitor 1 ao 2 ...

A soma dessas duas cargas aí é Q 2 i - Q 1 i n = 400   μ C , ou seja, deu um resultado positivo, logo nesse ramo, após o fechamento da chave S 3 as cargas vão se rebalancear de modo que as cargas nas duas chapas se tornem positivas, afinal, ramo que é positivo sempre será positivo, sacou?

Então no final, após as cargas se relocomoverem, vai ficar algo assim nesse ramo...

Mas sempre de modo que a soma das duas permaneça 400   μ C ...

Q 2 - Q 1 = Q 2 i - Q 1 i = 400   μ C

Fazendo a mesma análise de antes e depois para os demais ramos, vamos obter...

- Q 3 + Q 1 = Q 1 i - Q 3 i

Q 3 - Q 2 = Q 3 i - Q 2 i

Ou ainda...

Q 2 - Q 1 = 400   μ C           ( I )

- Q 3 + Q 1 = - 800   μ C           ( I I )

Q 3 - Q 2 = 400   μ C           ( I I I )

Então, para descobrir as cargas novas no terminal de cada capacitor, basta resolver esse sistema .

Passo 5

Mas infelizmente não podemos trabalhar com as três equações, pois elas são L D , mas podemos resolver esse problema usando o fato de que num circuito fechado, após um tempo, a soma das tensões tem que ser iguais a 0 ...

V 1 + V 2 + V 3 = 0

Então...

Q 1 C 1 + Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = 0

Usando a primeira equação I e substituindo a carga Q 1 ...

Q 2 - Q 1 = 400   μ C       →

Q 1 = - 400 ⋅ 10 - 6 + Q 2

- 400   ⋅ 10 - 6 + Q 2 C 1 + Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = 0

Usando a equação I I I e substituindo o Q 3 ...

Q 3 - Q 2 = 400   μ C           ( I I I )

Q 3 = 400 ⋅   10 - 6 + Q 2       ( I I I )

Então...

- 400 ⋅ 10 - 6 + Q 2 C 1 + Q 2 C 2 + 400 ⋅   10 - 6 + Q 2 C 3 = 0   →

Simplificando as continhas...

- 400 ⋅ 10 - 6 + Q 2 2 ⋅ 10 - 6 + Q 2 4 ⋅ 10 - 6 + 400 ⋅   10 - 6 + Q 2 6 ⋅ 10 - 6 = 0   →

- 400 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 10 - 6 + Q 2 2 ⋅ 10 - 6 + Q 2 4 ⋅ 10 - 6 + 400 ⋅   10 - 6 6 ⋅ 10 - 6 + Q 2 6 ⋅ 10 - 6 = 0   →

- 200 + 6 Q 2 12 ⋅ 10 - 6 + 3 Q 2 12 ⋅ 10 - 6 + 66,66 + 2 Q 2 12 ⋅ 10 - 6 = 0   →

11 Q 2 12 ⋅ 10 - 6 = 133,33 →

Q 2 = 133,33 11 ⋅ 12 ⋅ 10 - 6 →

Q 2 = 145,45 ⋅ 10 - 6 →

Q 2 = 145,45   μ F

Sendo assim, das equações do passo anterior...

Q 2 - Q 1 = 400   μ C           →             Q 1 = - 254,55   μ F

Q 3 - Q 2 = 400   μ C           →               Q 3 = 545,45   μ F

Passo 6

Esse resultado aí significa que do lado esquerdo de cada capacitor teremos as seguintes cargas...

Passo 7

L e t r a   C :

BEM... No capacitor C 1 , a tensão será...

V 1 = Q 1 C 1 = - 254,55 μ C 2 μ F →

V 1 = - 127,27   V

OBS: O sinal de negativo é indicando que a tensão na realidade está no sentido da direita no capacitor.

No capacitor C 2 ...

V 2 = Q 2 C 2 = 145,45 μ C 4 μ F   →

V 2 = 36,36   V

E no capacitor 3...

V 3 = Q 3 C 3 = 545,45   μ C 6 μ F

V 3 = 90,90   V

Resposta

Letra A: Todas iguais a 200 V

Letra B:

Letra C:

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