Enunciado

Uma carga negativa - Q é distribuída uniformemente ao longo da quarta parte de uma circunferência de raio a , que está sobre o primeiro quadrante, com centro de curvatura a origem. Encontre os componentes x e y do campo elétrico na origem.

Passo 1

Lembrando que o campo é dado por:

E → = k q r 2 r ^ = k q a 2 r ^

Ele pode ser reescrito da forma diferencial dada por:

d E = k a 2 d Q

Representando a carga citada no enunciado através do esboço:

Precisamos lembrar que um quarto do comprimento de uma circunferência é dada, nesse caso, por:

2 π a 4 = π a 2

E como um elemento de carga diferencial é apenas uma parte de toda a carga distribuída, temos que a carga neste trecho pode ser escrita como:

d Q = a d α π a 2 Q = 2 π Q d α

Passo 2

Agora, desenhando uma representação de um elemento do campo elétrico e seus componentes:

Esses componentes podem ser escritos através das relações trigonométricas do triângulo formado no desenho, tal que:

d E x = d E c o s α

E

d E y = d E s e n α

Passo 3

Agora, substituindo o valor de d E nessas equações conseguimos encontrar os resultados das componentes:

d E x = k a 2 d Q c o s α = k a 2 2 π Q d α c o s α

Reorganizando a equação:

d E x = 2 k a 2 π Q c o s α d α

E integrando ambos os lados da equação:

∫ d E x = ∫ 0 π / 2 2 k a 2 π Q c o s α d α

Podemos perceber que o intervalo de integração da angulação vai de 0 a π / 2 devido a ele representar o primeiro quadrante por onde a carga está distribuída. Logo:

E x = 2 k a 2 π Q ∫ 0 π / 2 c o s α d α

E x = 2 k a 2 π Q s e n α | π 2 0 = 2 k a 2 π Q s e n π 2 - s e n 0

Portanto:

E x = 2 k a 2 π Q

Da mesma forma, para a componente vertical:

E y = 2 k a 2 π Q ∫ 0 π / 2 s e n α d α

E y = 2 k a 2 π Q - c o s α | π 2 0 = 2 k a 2 π Q - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0

Então:

E y = 2 k a 2 π Q

Resposta

E x = E y = 2 k a 2 π Q

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