Enunciado

Um fio plástico retilíneo e não condutor de 8,5   c m de comprimento carrega uma densidade de carga de + 175   n C / m , distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Eles está sobre a superfície horizontal de uma mesa.

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido por esse fio em um ponto 6 c m diretamente acima do seu ponto médio.

(b) Se o fio for dobrado em círculo sobre a mesa, ache o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que ele produz em um ponto diretamente acima do seu centro.

Passo 1

(a) Temos essa situação aqui:

O fio está em vermelho e possui densidade linear de cargas de λ = 175   n C / m . Queremos saber o campo elétrico exercido porele naquele ponto P ali, 6   c m acima do ponto médio do fio.

Lá vem a simetria hehe. Por estar no ponto médio do fio, uma mesma quantidade de fio existe à direita e à esquerda do eixo y . No caso, 4,25   c m de fio para um lado e para outro. Com isso, as componentes do campo elétrico na direção de x vão se cancelar:

Essa é a situação do campo elétrico produzido pelo fio no ponto P . Pegamos um pedaço infinitesimal do fio carregado com uma carga d q . Essa carga, por sua vez, vai produzir o campo d E → , no qual sua componente x será cancelada por simetria, já que do outro lado do fio existe uma outra carga d q para cancelar essa componente do campo. Com isso teremos campo elétrico no eixo y apenas, ok?

E, pela imagem, vemos que d E y = d E c o s θ . Onde d E é dado pela fórmula do campo elétrico:

d E = 1 4 π ϵ 0 ∙ d q r 2

Logo, substituindo:

d E y = 1 4 π ϵ 0 ∙ d q r 2 ∙ c o s θ

Show! Além disso, temos que λ = d q d x , já que é a densidade linear de cargas do fio, que está sobre o eixo x . Com isso, d q = λ d x e:

d E y = λ 4 π ϵ 0 ∙ d x r 2 ∙ c o s θ

Vemos também, pela imagem, que r = 6 2 + x 2 , achamos isso fazendo Pitágoras no triângulo retângulo com o θ ali. Então:

d E y = λ 4 π ϵ 0 ∙ d x 6 2 + x 2 2 ∙ c o s θ

d E y = λ 4 π ϵ 0 ∙ d x 6 2 + x 2 ∙ c o s θ

Estamos quase lá! Ainda precisamos resolver esse cosseno aí. Pela imagem, vemos que cos ⁡ θ = y r = 6 6 2 + x 2 = 6 6 2 + x 2 1 / 2 . Vamos substituir mais esse cara:

d E y = λ 4 π ϵ 0 ∙ d x 6 2 + x 2 ∙ 6 6 2 + x 2 1 / 2

d E y = λ 4 π ϵ 0 ∙ 6 d x 6 2 + x 2 3 / 2

AGORA SIM! Temos o valor do infinitesimal do campo elétrico produzido!! E sabemos muito bem o que fazer com um infinitesimal.... Integrar! Aqui, estamos integrando em relação ao x , mas só queremos integrar sobre o tamanho do fio, né? E, pela imagem, vemos que o fio varia de x = - 4,25   c m até x = 4,25   c m . Esses serão os nossos limites de integração:

∫ d E y = ∫ - 4,25 4,25 λ 4 π ϵ 0 ∙ 6 d x 6 2 + x 2 3 / 2

E y = E P = ∫ - 4,25 4,25 6 λ 4 π ϵ 0 ∙ d x 6 2 + x 2 3 / 2

Agora, vamos chamar o E y de E P para simbolizar o campo elétrico sobre o ponto P . E podemos arrumar essa integral aí.... Repare que o termo 6 λ 4 π ϵ 0 não depende de x , logo, é constante, logo, podemos jogar ele pra frente da integral:

E P = 6 λ 4 π ϵ 0 ∫ - 4,25 4,25 d x 6 2 + x 2 3 / 2

Será que vamos precisar integrar isso aí? Relaxa, essa é uma integral bem complicada, teríamos que resolver com uma substituição trigonométrica e ninguém cobra a resolução dela. Então, não, não vamos precisar resolver essa integral. Normalmente ela é dada! A resposta é:

E p = λ 2 π ϵ 0 ∙ 1 y y 2 a 2 + 1 j ^

Essa é uma fórmula geral para o campo elétrico de um fio de tamanho 2 a a uma distância y . No nosso caso, já vimos que y = 6   c m → 0,06   m ,   λ = + 175 ∙ 10 - 9   C / m e a = 8,5 2 = 4,25   c m → 0,0425   m .

E P → = 175 ∙ 10 - 9   2 π ϵ 0 ∙ 1 0,06 0,06 2 0,0425 2 + 1 j ^

Vamos só multiplicar toda a equação por 2 2 :

E P → = 2 2 ∙ 175 ∙ 10 - 9   2 π ϵ 0 ∙ 1 0,06 0,06 2 0,0425 2 + 1 j ^

E P → = 2 ∙ 1 4 π ϵ 0 ∙ 175 ∙ 10 - 9 0,06 0,06 2 0,0425 2 + 1 j ^

E como 1 4 π ϵ 0 = k = 9 ∙ 10 9   N ∙ m 2 / C 2 :

E P → = 2 ∙ 9 ∙ 10 9 ∙ 175 ∙ 10 - 9 0,06 0,06 2 0,0425 2 + 1 j ^

Fazendo as contas:

E P → = 3,03   ∙ 10 4 j ^   N / C

Passo 2

(b) Se o fio foi dobrado em círculo, ele virou um anel! E aqui, queremos o campo produzido por um anel em um ponto a uma distância y = 6   c m → 0,06   m diretamente acima do seu centro.

A ideia para deduzir a fórmula do campo elétrico nesse caso é bem parecida com a do passo anterior. Mas, assim como a fórmula para a linha reta, a fórmula para o campo do anel também é tabelada e vale:

E = 1 4 π ϵ 0 ∙ Q y y 2 + r 2 3 / 2

Onde r é o raio do anel. Nós sabemos que o anel foi feito dobrando o fio, logo seu comprimento deve ser o comprimento do fio. Dessa forma:

2 π r = 0,085   m

r = 0,085 2 π

r = 0,01353   m

E sabemos que Q = λ L = 175 ∙ 10 - 9 ∙ 0,085 = 14,88 ∙ 10 - 9   C e que, no problema, pede uma distância de y = 0,06 m :

E = 9 ∙ 10 9 ∙ 14,88 ∙ 10 - 9 ∙ 0,06 0,06 2 + 0,01353 2 3 / 2

E = 3,45 ∙ 10 4   N / C

E esse campo, também, estará na direção y , ou seja, diretamente acima do centro do anel.

Resposta

(a) E P → = 3,03   ∙ 10 4 j ^   N / C

(b) E = 3,45 ∙ 10 4   N / C

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