Enunciado

Uma casca cilíndrica oca, de comprimento L e raio R, possui uma carga Q uniformemente distribuída ao longo do comprimento. Qual é o potencial elétrico no centro do cilindro?

Passo 1

Faaaaaaaaala galeeeera

Vamos a última questão do capítulo

Faremos como de costume, considere o cilindro como um conjunto de anéis, definimos o potencial para esse anel, e depois integramos

V a n e l = 1 4 π ε 0 d q R 2 + z 2

Uma circunferência é 2 π R , esse anel tem uma pequena área, logo 2 π R d z

Podemos deixar a carga em termos da densidade superficial de carga

V a n e l = 1 4 π ε 0 η 2 π R d z R 2 + z 2

V a n e l = η 2 ε 0 R d z R 2 + z 2

Passo 2

A densidade de carga superficial do cilindro é

η = Q 2 π R L

Substituindo

V a n e l = Q 4 π ε 0 L d z R 2 + z 2

Chegamos a expressão que queríamos, agora já podemos integrar a região do cilindro

∫ V a n e l = ∫ - L / 2 L / 2 Q 4 π ε 0 L d z R 2 + z 2

Aqui vou colocar a constante para o lado esquerdo da integral

V = 2 Q 4 π ε 0 L ∫ 0 L / 2 d z R 2 + z 2

Passo 3

Vamos desenvolver a integral

V = 2 Q 4 π ε 0 L l n z + R 2 + z 2 0 L / 2

V = 2 Q 4 π ε 0 L l n L 2 R + 1 + L 2 R 2

Resposta

V = 2 Q 4 π ε 0 L l n L 2 R + 1 + L 2 R 2

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