Enunciado

Uma casca esférica de carga Q e densidade volumétrica de cargas uniforme ρ é limitada pelas superfícies r = r 1 e r = r 2 , com r 2 > r 1 . Tomando V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca, considerando as regiões (a) r > r 2 ; (b) r 2 > r > r 1 ; (c) r < r 1 . (d) As soluções são compatíveis para r = r 2 e r = r 1 ? (Sugestão: veja a Seção 23-9.)

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😉

Temos uma casca esférica com carga Q e densidade volumétrica de cargas uniforme ρ . Essa casca é limitada pelas superfícies r = r 1 e r = r 2 , onde r 2 é maior que r 1 . Queremos determinar o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca para três regiões diferentes:

Região (a): r > r 2 :

Região (b): r 2 > r > r 1 :

Região (c): r < r 1 :

Em resumo, temos diferentes expressões para o potencial elétrico em cada região da casca esférica, e essas soluções são válidas nos pontos específicos indicados.

Para calcular o potencial elétrico de uma casca esférica temos que aplicar a fomulinha

V = Q 4 π ε 0 r

Veja só! 👀

Passo 2

(a) Para r > r 2 o campo é como o de uma carga puntiforme e o potencial é

V = 1 4 π ϵ 0 Q r

onde o zero do potencial foi tomado no infinito.

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

(b) Para determinar o potencial no intervalo r 1 < r < r 2 usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória radial, de r 2 até r . A melhor Gaussiana e uma superfície esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal a superfície, com magnitude uniforme sobre a superfície, de modo que o fluxo através da superfície é

Φ = 4 π r 2 E

O volume da casca é 4 π r 2 3 - r 1 3 3 , de modo que e a densidade de carga é

ρ = 3 Q 4 π r 2 3 - r 1 3

Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio r é

q = 4 π 3 ρ r 2 3 - r 1 3

A lei de Gauss fornece-nos

4 π r 2 E = Q r 3 - r 1 3 r 2 3 - r 1 3

Onde obtemos a magnitude do campo elétrico:

E = Q 4 �� r 2 r 3 - r 1 3 r 2 3 - r 1 3

Interessante... 🤔

Passo 4

Sendo V s o potencial elétrico na superfície externa da casca ( r = r 2 ) , então o potencial a uma distância r do centro e dado por

V = V s - ∫ r 2 r E   d r

V = V s - Q 4 π ϵ 0 1 r 2 3 - r 1 3   r 2 2 - r 2 2 2 + r 1 3 r + r 1 3 r 2

O valor da constante V s na superfície externa e encontrado substituindo-se r = r 2 na expressão para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja, V s = Q 4 π ϵ 0 r 2 . Substituindo-se este valor na expressão acima e simplificando-a, obtemos

V = Q 4 π ϵ 0 1 r 2 3 - r 1 3   - r 2 2 + 3 r 2 2 2 + r 1 3 r

Como ρ = 3 Q 4 π r 2 3   -   r 1 3 , o potencial pode ser escrito de uma maneira mais simples e elegante como

V = ρ 3 ϵ 0 - r 2 2 + 3 r 2 2 2 + r 1 3 r

Bacana, não é? 😉

Passo 5

(c) O campo elétrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial será sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superfície interna da casca. Escolhendo-se r = r 1 no resultado do item (b) e simplificando, encontramos

V = ρ 2 ϵ 0 r 2 2 - r 1 2

Para responder o item (d), vamos lembrar que utilizamos essa propriedade para encontrar o potencial no item (c). Agora, podemos fazer r = r_2 e conferir os potenciais nos casos do item (a) e (b).

V = ρ 3 ε 0 3 r 2 2 2 - r 2 2 2 - r 1 3 r 2

V = ρ 3 ε 0 r 2 2 - r 1 3 r 2

V = ρ 3 ε 0 r 2 3 r 2 - r 1 3 r 2

V = ρ 3 ε 0 r 2 3 - r 1 3 r 2

Ou seja, as soluções concordam para r = r 1 e para r = r 2 .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(a) V = 1 4 π ϵ 0 Q r

(b) V = ρ 3 ε 0 3 r 2 2 2 - r 2 2 - r 1 3 r

(c) V = ρ 2 ε 0 r 2 2 - r 1 2

(d) Sim

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