Responde Aí

Enunciado

Um cone circular reto imaginário (Figura 22.40) com ângulo de base θ e raio de base R estão em uma região libre de cargas que tem um campo elétrico uniforme E → (linhas de campo são verticais e paralelas ao eixo do cone). Qual é a razão entre o número de linhas de campos por unidade de área entrando na base e o número de linhas por unidade de área entrando na superfície do cone? Use a lei de Gauss em sua resposta. (As linhas de campo na figura são apenas uma amostra representativa).

Passo 1

Fala ai galerinha ;)! Bem, essa questão quer que a gente calcule a razão entre o número de linhas por unidade de área que entram na base e o número de linhas por unidade de área que saem pela lateral.

Ora, pela lei de Gauss sabemos que o fluxo no cone, como um todo, é:

Φ = q i n t ε 0

Mas... como não há nenhuma carga no interior do cilindro, devemos ter

q i n t = 0

Ou seja,

Φ = 0

Porém, esse Φ é o fluxo total, ou seja, é o fluxo que entra pela base do cone (positivo) e o fluxo que sai pela área lateral (negativo). Assim,

Φ = Φ b a s e - Φ l a t e r a l = 0

Dessa forma,

Φ b a s e = Φ l a t e r a l

Passo 2

Beleza, mas não é exatamente isso que queremos. Queremos a razão entre os números de linha por unidade de área. Podemos que o número de linhas por unidade de área é dado por:

N = C ⋅ Φ A

onde C é uma constante de proporcionalidade, Φ o fluxo e A a área. Note que essa fórmula faz sentido... o número de linhas deve ser proporcional ao fluxo e a área (quanto maior a área, mais linhas vão passar)! Afinal, quanto maior o fluxo, maior deve ser o número de linhas passando pelo corpo, correto?

Dessa forma, temos

N b a s e = C ⋅ Φ b a s e A b a s e

A área da base do cone é A b a s e = π R 2 (círculo de raio R ).

N l a t e r a l = C ⋅ Φ l a t e r a l A l a t e r a l

A área lateral do cone é A l a t e r a l = π R 2 / cos ⁡ θ .

Passo 3

Finalmente, dividindo N b a s e / N l a t e r a l e usando o fato que Φ b a s e = Φ l a t e r a l , temos

N b a s e N l a t e r a l = A b a s e A l a t e r a l = cos ⁡ θ

Resposta

A razão vale cos ⁡ θ .

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