Enunciado

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Uma fina casca esférica não-condutora de raio R 1 tem carga total q 1 uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda fina casca esférica não condutora e maior, de raio R 2 , coaxial com a primeira, tem carga q 2 uniformemente distribuída em sua superfície. (a) Use a lei de Gauss para obter expressões para o campo elétrica em cada uma das três regiões: r < R 1 , R 1 < r < R 2 e r > R 2 . (b) Qual deveria ser a razão entre as cargas q 1 / q 2 e os sinais relativos para q 1 e q 2 para que o campo elétrico fosse zero na região r > R 2 ? (c) Represente as linhas de campo elétrico para a situação da parte (b) quando q 1 é positiva?

Passo 1

Fala, beleza? Então, esse exercício quer que a gente calcule, a partir da lei de Gauss, o campo elétrico para situações esfericamente simétricas. Nesse tipo de situação, nada melhor do que tomar a nossa superfície gaussiana como sendo uma esfera concêntrica com as demais e de raio r .

Passo 2

  • Para r < R 1 , temos
  • Dessa forma temos que

    ∮ E   d A = q i n t ε 0

    Porém, no interior da esfera de raio r , a carga interna é nula; q i n t = 0 . Assim, o lado direito da equação acima é nulo. A única forma do lado esquerdo também ser nulo é E = 0 .

    E = 0 ,     r < R 1

  • Para R 1 < r < R 2 :
  • Temos que

    ∮ E ⋅ d A = q i n t ε 0

    Nesse caso, q i n t = q 1 . Como

    ∮ E ⋅ d A = E ∮ d A = E 4 π r 2

    segue que

    E 4 π r 2 = q 1 ε 0 ⟹ E = q 1 4 π ε 0 r 2

  • Para r > R 2 , temos
  • Temos que

    ∮ E ⋅ d A = q i n t ε 0

    Como

    q i n t = q 1 + q 2

    Seque

    E 4 π r 2 = q 1 + q 2 ε 0 E = q 1 + q 2 4 π ε 0 r 2

    Passo 3

  • Notemos que E = 0 para r > R 2 , bastará que q 1 + q 2 = 0 , ou seja, q 1 q 2 = - 1 . Assim, o sinal relativo entre q 1 e q 2 são opostos.
  • Passo 4

  • Nesse caso, só haverá campo elétrico entre as esferas. Assim, temos algo do tipo:
  • Resposta

  1. Para r < R 1 , E = 0 .
  2. Para R 1 < r < R 2 , E = q 1 / 4 π ε 0 r 2
  3. Para r > R 2 , E = ( q 1 + q 2 ) / 4 π ε 0 r 2
  4. q 1 / q 2 = - 1
  5. Ver imagem.

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