Na figura 29-71, um cano circular longo de raio externo conduz uma corrente (uniformemente distribuída) para dentro do papel. Existe um fio paralelo ao cano a uma distância de do eixo do cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para que o campo magnético no ponto tenha o mesmo módulo que o campo magnético no eixo do cano e o sentido oposto.

Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😇
Nesse problema temos um cano circular oco e um fio, ambos paralelos entre si e perpendiculares à tela do seu pc. O cano conduz uma corrente pra dentro do papel, mas a gente ainda não sabe o sentido da corrente no fio.
Entre o cano e o fio tempos o ponto . E o que sabemos é que o campo magnético no ponto tem o mesmo módulo e sentido oposto ao campo no centro do cano.
Dito isso, a gente quer saber qual a corrente no fio e qual o seu sentido. E agora? Tem ideia de como fazer isso? 🤔
A primeira teoriazinha aqui que precisamos lembrar é que para um cano oco longo, com corrente uniformemente distribuída na espessura, vale a Lei de Ampère. Ela é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria e nos diz que:
Ou traduzindo: o campo magnético ao longo de uma curva fechada depende somente da corrente que atravessa a área delimitada por essa curva (no caso, aqui estamos falando da amperiana). Maaaaaas, como o cano é oco e nenhuma corrente passa no seu interior, então independente da amperiana, qualquer ponto no seu interior vai ter:
Em palavras ainda mais simples, o cano não vai gerar campo magnético no seu próprio interior.
Então o campo no interior do cano vai ser gerado apenas pelo fio! Opa, descobrimos uma coisa legal aqui hein!!!
E qual é o campo gerado pelo fio?
O campo magnético gerado por um fio conduzindo corrente num a uma distância perpendicular do seu eixo é:
Agora vamos voltar pra situação do nosso problema. Se temos dois corpos gerando campo, então o campo total em qualquer ponto vai ser a contribuição desses dois campos gerados. No caso, o campo em vai ser o campo gerado pelo cano mais o campo gerado pelo fio:
E a última informação de todas que eu vou te dar e a mais valiosa é que: para pontos do lado de fora do cano, o campo gerado pelo cano vai ser o mesmo que o de um fio (com mesma corrente) passando pelo seu centro.
OMG!!!
Isso mesmo! Ficou fácil né! Bora começar! 😉
Passo 2
Como vimos no passo 1, o campo magnético no eixo do cano se deve apenas ao fio. Como a distância do fio ao eixo do cano é , então o módulo desse campo é:
O seu sentido vai depender de se a corrente do fio está entrando ou saindo da página, mas é fato que esse campo está pra direita ou pra esquerda.
Usando a mesma fórmula, vamos calcular o campo gerado pelo fio no ponto . A distância entre eles é , então o campo vai ser:
E também não sabemos seu sentido. Mas como, tanto o centro do cano quanto o ponto estão “abaixo” do fio, o campo vai ser no mesmo sentido. Seja pra direita ou pa esquerda, mas pro mesmo lado.
Passo 3
Já vimos que o campo total em vai ser o campo gerado pelo cano mais o campo gerado pelo fio:
Então agora vamos descobrir o campo gerado pelo cano no ponto . Como vimos no passo 1, pros pontos posicionados fora do campo (, é como se o cano se comportasse como um fio localizado no seu centro. Ou seja, o campo vai ser dado por aquela mesma fórmula
Como o centro do cano está a distância do ponto , então:
MAAAAAASSSSSSSS aqui a gente finalmente sabe um sentido! A corrente no cano vai pra dentro do papel, então, pela regra da mão direita, o campo magnético gerado em aponta pra direita.
Passo 4
Agora vamos a esses sentidos todos. Vamos analisar duas situações (corrente do fio pra fora e pra dentro da página). E vamos estabelecer que o campo pra direita é positivo e pra esquerda é negativo.
CASO A: a corrente do fio sai da página. Neste caso, suas contribuições, tanto em quanto no centro do cano, apontam pra direita (estabelecemos positivo) .
Sendo assim o campo total em é:
E lembrando que ele é igual em módulo e tem sentido oposto ao campo no centro do cano:
Mas aqui a gente já tem uma inconsistência, porque a esqueda tempos um campo positivo e a direita negativo (as correntes aí estão em módulo). Outra visão é que, se todos os campos (que a gente calculou) apontarem pra direita, não tem como o campo total em ter sentido oposto ao campo no centro do do cano.
CASO B: a corrente do fio entra na página. Neste caso, suas contribuições, tanto em quanto no centro do cano, apontam pra esquerda (estabelecemos negativo).
Sendo assim o campo total em é:
E lembrando que ele é igual em módulo e tem sentido oposto ao campo no centro do cano:
Simplificando:
Opa! Agora sim deu certo! E os sinais são consistentes.
O sentido da corrente é para dentro do papel (ou da sua tela).
E como , então:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta
a) ;
b) O sentido da corrente é para dentro do papel.