Na figura 29-71, um cano circular longo de raio externo R = 2,6 cm conduz uma corrente (uniformemente distribuída) i = 8,00 mA para dentro do papel. Existe um fio paralelo ao cano a uma distância de 3,00 \* R do eixo do cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para que o campo magnético no ponto P tenha o mesmo módulo que o campo magnético no eixo do cano e o sentido oposto.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😇

Nesse problema temos um cano circular oco e um fio, ambos paralelos entre si e perpendiculares à tela do seu pc. O cano conduz uma corrente pra dentro do papel, mas a gente ainda não sabe o sentido da corrente no fio.

Entre o cano e o fio tempos o ponto P . E o que sabemos é que o campo magnético no ponto P tem o mesmo módulo e sentido oposto ao campo no centro do cano.

B P = - B C

Dito isso, a gente quer saber qual a corrente no fio e qual o seu sentido. E agora? Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira teoriazinha aqui que precisamos lembrar é que para um cano oco longo, com corrente uniformemente distribuída na espessura, vale a Lei de Ampère. Ela é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria e nos diz que:

∮ B . d S = μ o i e n v

Ou traduzindo: o campo magnético ao longo de uma curva fechada depende somente da corrente que atravessa a área delimitada por essa curva (no caso, aqui estamos falando da amperiana). Maaaaaas, como o cano é oco e nenhuma corrente passa no seu interior, então independente da amperiana, qualquer ponto no seu interior vai ter:

i e n v = 0

B = 0

Em palavras ainda mais simples, o cano não vai gerar campo magnético no seu próprio interior.

Então o campo no interior do cano vai ser gerado apenas pelo fio! Opa, descobrimos uma coisa legal aqui hein!!!

E qual é o campo gerado pelo fio?

O campo magnético B gerado por um fio conduzindo corrente i f i o num a uma distância perpendicular r do seu eixo é:

B = μ o i f i o 2 π r

Agora vamos voltar pra situação do nosso problema. Se temos dois corpos gerando campo, então o campo total em qualquer ponto vai ser a contribuição desses dois campos gerados. No caso, o campo em P vai ser o campo gerado pelo cano mais o campo gerado pelo fio:

B P = B P , f i o + B P , c a n o

E a última informação de todas que eu vou te dar e a mais valiosa é que: para pontos do lado de fora do cano, o campo gerado pelo cano vai ser o mesmo que o de um fio (com mesma corrente) passando pelo seu centro.

OMG!!!

Isso mesmo! Ficou fácil né! Bora começar! 😉

Passo 2

Como vimos no passo 1, o campo magnético no eixo do cano se deve apenas ao fio. Como a distância do fio ao eixo do cano é r = 3 R , então o módulo desse campo é:

B C = μ o i f i o 2 π 3 R = μ o i f i o 6 π R

O seu sentido vai depender de se a corrente do fio está entrando ou saindo da página, mas é fato que esse campo está pra direita ou pra esquerda.

Usando a mesma fórmula, vamos calcular o campo gerado pelo fio no ponto P . A distância entre eles é r = R , então o campo vai ser:

B P , f i o = μ o i f i o 2 π R

E também não sabemos seu sentido. Mas como, tanto o centro do cano quanto o ponto P estão “abaixo” do fio, o campo vai ser no mesmo sentido. Seja pra direita ou pa esquerda, mas pro mesmo lado.

Passo 3

Já vimos que o campo total em P vai ser o campo gerado pelo cano mais o campo gerado pelo fio:

B P = B P , f i o + B P , c a n o

Então agora vamos descobrir o campo gerado pelo cano no ponto P . Como vimos no passo 1, pros pontos posicionados fora do campo ( r > R ) , é como se o cano se comportasse como um fio localizado no seu centro. Ou seja, o campo vai ser dado por aquela mesma fórmula

B = μ o i f i o 2 π r

Como o centro do cano está a distância r = 2 R do ponto P , então:

B P , c a n o = μ o i c a n o 2 π 2 R

MAAAAAASSSSSSSS aqui a gente finalmente sabe um sentido! A corrente no cano vai pra dentro do papel, então, pela regra da mão direita, o campo magnético gerado em P aponta pra direita.

Passo 4

Agora vamos a esses sentidos todos. Vamos analisar duas situações (corrente do fio pra fora e pra dentro da página). E vamos estabelecer que o campo pra direita é positivo e pra esquerda é negativo.

CASO A: a corrente do fio sai da página. Neste caso, suas contribuições, tanto em P quanto no centro do cano, apontam pra direita (estabelecemos positivo) .

B C = + μ o i f i o 6 π R

B P , f i o = + μ o i f i o 2 π R

Sendo assim o campo total em P é:

B P = B P , f i o + B P , c a n o

B P = μ o i f i o 2 π R + μ o i c a n o 2 π 2 R

E lembrando que ele é igual em módulo e tem sentido oposto ao campo no centro do cano:

B P = - B C

μ o i f i o 2 π R + μ o i c a n o 2 π 2 R = - μ o i f i o 6 π R

Mas aqui a gente já tem uma inconsistência, porque a esqueda tempos um campo positivo e a direita negativo (as correntes aí estão em módulo). Outra visão é que, se todos os campos (que a gente calculou) apontarem pra direita, não tem como o campo total em P ter sentido oposto ao campo no centro do do cano.

CASO B: a corrente do fio entra na página. Neste caso, suas contribuições, tanto em P quanto no centro do cano, apontam pra esquerda (estabelecemos B negativo).

B C = - μ o i f i o 6 π R

B P , f i o = - μ o i f i o 2 π R

Sendo assim o campo total em P é:

B P = B P , f i o + B P , c a n o

B P = - μ o i f i o 2 π R + μ o i c a n o 2 π 2 R

E lembrando que ele é igual em módulo e tem sentido oposto ao campo no centro do cano:

B P = - B C

- μ o i f i o 2 π R + μ o i c a n o 2 π 2 R = μ o i f i o 6 π R

Simplificando:

- i f i o 1 + i c a n o 2 = i f i o 3

1 2 i c a n o = 4 3 i f i o

Opa! Agora sim deu certo! E os sinais são consistentes.

O sentido da corrente é para dentro do papel (ou da sua tela).

E como i c a n o = 8,00   m A , então:

i f i o = 1 2 8 3 4 = 3   m A

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

a) i f i o = 3   m A ;

b) O sentido da corrente é para dentro do papel.

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