Enunciado

Em um certo instante, v → = - 2,0 i + 4,0 j - 6,00 k   m / s é a velocidade de um próton em um campo magnético uniforme B → = 2,00 i + 4,00 j + 8,00 k   m T . Para esse instante, determine (a) a força magnética F → que o campo exerce sobre próton, em termo dos vetores unitários; (b) o ângulo entre v → e F → ; (c) o ângulo entre v → e B → .

Passo 1

A gente tira lá da teoria a seguinte expressão para a contribuição do campo magnético para a força é:

F B → = q v → × B →

Nos foi dado a velocidade do próton e o campo magnético ao qual ele está submetido. Vamos, então, subsitutir esses valores na equação.

Passo 2

Vamos ao calculo da força, teremos um produto vetorial de v → e b → e nesse caso o melhor jeito de sair é com matriz, sugiro aqui multiplicarmos pela carga depois de encontrar o valor do produto pra não fazer salada!

F B → q = v → × B →

F B → q = i j k - 2 + 4 - 6 + 2 + 4 + 8

Lembrando que você deve respeitar as ordens ou vai dar xabu aqui no sinal, daí tu pode fazer o determinante pela regra de cramer ou Laplace, mas pra gente ganhar um tempo vou trazer o resultado final aqui:

F B → q = 56 i ^ + 4 j ^ - 16 k ^ × 10 - 3

Obs: O valor 10 - 3 foi colocado ali pela unidade do campo em m T .

Passando a carga para o outro lado e convertendo em coulombs temos:

F B → = 56 i ^ + 4 j ^ - 16 k ^ × 1,6 × 10 - 22 N

F B → = 89,6 i ^ + 6,4 j ^ - 25,6 k ^ × 10 - 22 N

Passo 3

Vamos responder tanto o item b. sem fazer nenhuma conta, só com teoria, quer ver? Lembra da regra da mão direita?

Ela só mostra como funciona na verdade o sistema de três eixos entre campo magnético força e velocidade.

Por definição quando calculamos o produto vetorial entre v → e B → encontramos uma força F → fora do plano, que é perpendicular aos dois vetores.

Sendo assim o ângulo entre v → e F → é 90 ° e isso responde a letra b.

Passo 4

E pra responder a letra c., vamos lembrar da definição de produto escalar entre dois vetores:

v → ∙ B → = | v → | ∙ | B → | ∙ cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores v → e B → . Beleza? Sendo assim, podemos isolar esse ângulo:

cos ⁡ θ = v → ∙ B → | v → | ∙ | B → |

θ = arccos ⁡ v → ∙ B → v → ∙ B →

Fazendo o produto escalar:

v → ∙ B → = - 2 2 + 4 4 + - 6 8

v → ∙ B → = - 36

Fazendo o módulos de cada um deles:

v → = - 2 2 + 4 2 + - 6 2

v → = 56

E:

B → = - 2 2 + 4 2 + 8 2

B → = 84

Dessa forma:

θ = arccos ⁡ - 36 56 ∙ 84

E isso dá:

θ = 121,66 °

Beleza?? Acabou!

Resposta

  1. F B → = 89,6 i ^ + 6,4 j ^ - 25,6 k ^ × 10 - 22 N
  2. 90 ° ;
  3. θ = 121,66 °
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