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Uma das chamadas “falhas de Kirkwood” no cinto de asteroides ocorre em um raio orbital para o qual o período da órbita com este raio é devida ao impulso periódico (exercido po Júpiter) que um asteroide experimenta, na mesma posição, a cada segunda vez que passa por lá, orbitando em torno do Sol. Impulsos repetidos deste tipo, exercidos por Júpiter, acabam por provocar uma variação da órbita do asteroide. Portanto, todos os asteroides que, de outra forma, estariam orbitando com aquele raio, foram presumivelmente, varridos da área devido a este fenômeno ressonante. A que distância do Sol está esta particular falha ressonante 2 : 1 “de Kirkwood”?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Aplicando a terceira lei de Kepler para Jupiter, temos:

T J u p i t e r 2 = 4 π 2 G M s o l r J u p i t e r 3

Aplicando a terceira lei de Kepler para Kirkwood, temos:

T K i r k w o o d 2 = 4 π 2 G M s o l r K i r k w o o d 3

Vamos relacionar as duas equações:

T K i r k w o o d 2 T J u p i t e r 2 = 4 π 2 G M s o l r K i r k w o o d 3 4 π 2 G M s o l r J u p i t e r 3

T K i r k w o o d 2 T J u p i t e r 2 = r K i r k w o o d 3 r J u p i t e r 3

O raio, r K i r k w o o d ,será:

r K i r k w o o d = r J u p i t e r T K i r k w o o d T J u p i t e r 2 / 3

Substituindo os valores, temos:

r K i r k w o o d = ( 77,8 × 10 10   m ) 1 2 T J u p i t e r T J u p i t e r 2 / 3

r K i r k w o o d = 4,9 × 10 11   m

r K i r k w o o d = 4,9 × 10 11   m × 1 A U 1,5 × 10 11 m

r K i r k w o o d = 3,27   A U

Resposta

r K i r k w o o d = 4,9 × 10 11   m

r K i r k w o o d = 3,27   A U

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