Enunciado

Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5   m   X   3,0   m   X   2,0   m . Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superfície gaussiana que envolve o ar do banheiro. Determine (a) a densidade volumétrica de cargas ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão cria uma situação para que basicamente uma situação onde temos um cubo gaussiano, onde iremos aplicar a lei de Gauss para nos ajudar a resolver o problema.

Temos em um banheiro um campo elétrico E = 600 N/C e esse campo está sempre perpendicular as paredes, teto e piso do banheiro. Também, sabemos que as dimensões do banheiro são 2,5 m X 3,0 m X 2,0 m. Para conseguirmos descobrir a densidade volumétrica de carga, precisamos descobrir a carga.

Passo 2

A carga pode ser facilmente achada pela lei de Gauss:

Φ = q ε 0

q = Φ ε 0

Precisamos primeiro achar o fluxo elétrico, como o campo elétrico é constante em todas as paredes, podemos usar a formula do fluxo elétrico:

Φ = E → ⋅ A →

Podemos calcular a área total das superfícies que fecham o banheiro:

A = A t e t o + A p i s o + A P a r e d e s

A = 2,5 × 3,0 + 2,5 × 3,0 + 2,0 × 3,0 × 2 + 2,0 × 2,5 × 2

A = 37 m 2

Colocando isso na formula do fluxo elétrico:

Φ = 600 × 37 = 22 × 10 3 N m 2 / C

Agora podemos calcular a carga:

q = Φ ε 0

q = 22 × 10 3 8,85 × 10 - 12 = 2 × 10 - 7 C

É importante, notar que o sinal da carga é negativo pelo enunciado. Agora, podemos calcular a densidade volumétrica dividindo a carga, pelo volume do banheiro:

ρ = q V = - 2 × 10 - 7 2,5 × 3,0 × 2,0 = - 1,3 × 10 - 8 C / m 3

Passo 3

Para encontrar o número de carga elementais em excesso por metro cúbico, ne, basta dividir a carga total, pela carga do elétron e pelo volume do banheiro:

n e = q e V

= 2 ∙ 10 - 7 1,6 ∙ 10 - 19 2,5 ∙ 3,0 ∙ 2,0

= 8,2 ∙ 10 10 c a r g a s / m 3

Resposta

(a) ρ = - 1,3 × 10 - 8 C / m 3

(b) n e = 8,2 × 10 10 c a r g a s / m 3

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