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Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes finas, têm 3,0   c m e 6,0   c m de raio. A carga por unidade de comprimento é 5,0 × 10 - 6   C / m para a casca interna e -   7,0   X   10 - 6   C / m na casca externa. Determine ( a ) o módulo E e ( b ) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r   =   4,0   c m . Determine ( c ) o módulo E e ( d ) o sentido do campo elétrico para r   =   8,0   c m .

Passo 1

  1. Aqui, podemos usar novamente a Lei de Gauss para determinarmos o campo elétrico devido a cada casca carregada.

∮ A E ⋅ d A = q i n t   ϵ 0

Onde:

  • E é o campo elétrico que desejamos descobrir;
  • d A é derivada da área da superfície gaussiana;
  • q i n t   é a carga no interior dessa superfície e
  • ϵ 0 é apenas uma constate.

Não fica com medo dessa fórmula, porque já vamos mostrar como vamos trabalhar com ela.

Fazendo isso, para a superfície gaussiana de raio r pontilhada da figura, a gente tem o seguinte:

Concorda comigo que a área superficial do cilindro de raio r é igual a:

A = 2   .   π   .   r   .   L

Onde L é a altura desse cilindro

∮ A E → ⋅ d A → = q i n t   ϵ 0

Como o campo elétrico é paralelo ao vetor d A →

∮ A E d A = q i n t   ϵ 0

E como o seu módulo é constante ao longo da superfície gaussiana, ele sai da integral:

E ∮ A d A = q i n t   ϵ 0

E A = q i n t ϵ 0

E   .   2   .   π   . r   .   L = q i n t ϵ 0

Agora quem é a carga interna a superfície? Bom, ela é a carga da casca esférica. E se temos uma carga por comprimento ( λ ) e o comprimento do cilindro é L , a carga interna será:

q i n t   =   λ   .   L

Substituindo na nossa equação:

E ⋅ 2 π r ⋅ L = λ   .   L ϵ 0  

Simplificando o L dos dois lados, temos o campo igual a:

E = λ 2 π r ⋅ ϵ 0

Passo 2

Beleza! A gente achou o campo elétrico causado por uma casca cilíndrica, a uma distância r > R (sendo R o raio da casca). Bora então aplicar esse resultado pra matar de vez a letra a!

  1. Nesse caso, como o raio de r = 4 c m é maior que o raio da casca interna ( r = 3,0 c m ) e menor que o da externa ( R = 6,0 c m ) , então o campo elétrico é devido apenas à casca interna (lembrando que a Lei de Gauss leva em conta a carga interna à superfície pontilhada.
  2. Então, a gente tem que:

    E = λ 2 π r ⋅ ϵ 0

    E r = 0,04 m = 5   .   10 - 6 2 π 8,85   .   10 - 12   . ( 4,0   .   10 - 2 )

    E r = 0,04 m = 2,3   × 10 6 N C

  3. Como o sinal desse campo é positivo, então, ele está apontando para fora. Faz sentido né? Pensa comigo em cargas pontuais, onde as linhas de campo elétrico apontam para fora!
  4. Passo 3

  5. Agora a história muda um pouco e adivinha porque!
  6. O raio da superfície gaussiana ( r   =   8,0   c m ) agora é maior que o raio da casca externa ( R = 6,0 c m ) também. Daí, a carga interna a ser considerada agora na Lei de Gauss também vai levar em conta a carga total dessa casca. Com isso, a gente tem o seguinte:

    E = λ i n t e r n o + λ e x t e r n o 2 π r ⋅ ϵ 0

    Substituindo o valor da carga interna ( λ i n t e r n o =   5 . 10 - 6 C / m ) , da carga externa ( λ e x t e r n o =   -   7,0   .   10 - 6   C / m   ) :

    E r = 0,08 m = 5   .   10 - 6 + - 7   .   10 - 6 2 π 8,85   .   10 - 12   .   ( 8,0 × 10 - 2 )

    E r = 8 c m = - 4,5 × 10 5 N C

  7. O sinal negativo desse campo nos mostra que ele está direcionado pra dentro. Lembra de novo das cargas pontuais negativas que geram linhas de campo elétrico apontadas para a própria carga!

Resposta

  1. 2,3 × 10 6 N C
  2. Para fora
  3. 4,5 × 10 5 N C
  4. Para dentro

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