Enunciado

Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 3,6   n C / m . O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica, não condutora, de paredes finas, com 1,5   c m de raio . A casca possui uma carga positiva na superfície externa, com uma densidade superficial σ , que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. Determine o valor de σ .

Passo 1

Lembrando da Lei de Gaus na situação ilustrada, a gente tem que,considerando a superfície pontilhada:

∮ A E ⋅ d A = q i n t ϵ 0

O que deve acontecer para que o campo elétrico seja nulo fora da casca cilíndrica?

Precisamos que o módulo do campo elétrico do cilindro e do fio sejam iguais, pois como o fio possui carga negativa o seu campo será negativo e irá se anular com o campo da casca.

E c i l i n d r o + E f i o =   0

Partindo daqui calcularemos o campo elétrico pro fio e pro cilindro e compararemos ambos, e então será possível encontrar a densidade de cargas.

Passo 2

Para descobrirmos, vamos calcular o campo elétrico devido a cada entidade (fio reto e cilindro que o envolve), a uma distância r do eixo do fio:

E f i o = λ f i o 2 π r ϵ 0

Já o campo elétrico do cilindro é dado por:

∮ A E c i l i n d r o ⋅ d A = q c i l i n d r o   ϵ 0

Onde:

q c i l i n d r o = σ ⋅ ( 2 π R c i l i n d r o L )

E aí a expressão vai ficar:

∮ A E c i l i n d r o ⋅ d A = σ 2 π R c i l i n d r o L ϵ 0

E c i l i n d r o ⋅ 2 π r L = σ ⋅ ( 2 π R c i l i n d r o L ) ϵ 0  

Agora vamos isolar o campo elétrico do cilindro e a partir disso poderemos relacionar o campo elétrico gerado pelo cilindro com o campo elétrico gerado pelo fio:

E c i l i n d r o = σ ⋅ R c i l i n d r o ϵ 0 ⋅ r

Passo 3

Como a gente falou lá no comecinho, pro campo elétrico ser nulo á uma certa distância da casca a seguinte relação deve ser verdade:

E c i l i n d r o + E f i o =   0

Como temos toda a galera é só substituir:

σ ⋅ R c i l i n d r o ϵ 0 ⋅ r + λ f i o 2 π r ϵ 0 = 0

Cortando os termos semelhates temos:

σ R c i l i n d r o + λ f i o 2 π = 0

Agora é só isolar e substituir geral!

σ = -   λ f i o 2 π R c i l i n d r o = - - 3,6 × 10 - 9 2 π 0,015 C m 2 ≅ 3,8 × 10 - 8 C / m 2

Resposta

σ = 3,8 × 10 - 8 C / m ²

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