Enunciado

Para um gás ideal em equilíbrio térmico, qual é a fração das moléculas cujas velocidades diferem em menos de 1 % da velocidade mais provável ν P ? Note que (Fig. 12.7) podemos tomar Δ v = d v neste caso.

Figura 12.7 :

Passo 1

Vamos começar lembrando de algumas fórmulas. Primeiro, a função da distribuição de Maxwell:

F v = 4 π v 2 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T  

Essa fórmula meio complicada te dá a probabilidade de encontrar uma partícula com velocidade v .

E em um intervalo que vai de uma velocidade v até d v , essa probabilidade é:

f = F v d v

O que a gente quer fazer aqui é o seguinte: calcular a probabilidade de encontrar uma partícula com uma velocidade nesse intervalo aqui:

Ou seja, a fórmula que a gente vai usar é essa aqui:

f = F v p 0,01 v p

f = 4 π v p 2 m 2 π k T 3 2 exp ⁡ - m v p 2 2 k T 0,01 v p

Passo 2

Beleza, agora vamos para a parte matemática. Já que estamos falando de um gás ideal no equilíbrio térmico, a velocidade mais provável v p é essa aqui:

v p = 2 k T m

Jogando isso na nossa fórmula:

f = 4 π v p 3 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v p 2 2 k T 0,01

f = 4 π 2 k T m 3 / 2 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m 2 k T m 2 k T 0,01

E já podemos cortar praticamente tudo!

f = 4 π π 3 2 e - 1 0,01

Agora é só colocar isso na calculadora:

f ≈ 0,008302

Passo 3

Mas dê uma olhada lá no desenho do passo 1 de novo. O nosso d v só considerava os valores em um intervalo de 1 % acima do v p .

Fica faltando calcular os valores 1 % abaixo. Mas como a distribuição é aproximadamente simétrica ali no meio, é só dobrar o valor que a gente calculou:

f ' = 2 f

f ' = 2 0,008302 ≈ 1,66 %

Resposta

A fração de moléculas nesse intervalo é 1,66 % .

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