Enunciado

Um cilindro vertical de raio r contem uma quantidade de gas ideal e possui um pistao ajudstado de massa m que pode se mover livremente (Figura 19.34). Não existe átrio tenre o pistao e as paredes do cilindro e todo o clindrio é colocado em um banho sob temperatura constante. A pressão do ar externo é p 0 . No equilibro, o pistao esta a uma altura h acima da base do cilindro. a) Calcule a pressão absoluta do gas preso abaixo do pistao na posição de equilíbrio. b) O pistao é puxado para cima e uma distancia pequena, e a seguir é libertado. Calcule a força resultante que atua sobre o pistao quando ele está a uma distancia igual a h + y acima da base do cilindro, onde y é muito menor do que h . c) Depois que o psitao é puxado para cima e libertado, ele oscila para cima e para baixo. Calcule a frequência dessas pequenas oscilações. Se o deslocamento não for pequeno, o movimento continua sendo harmônico simples? Como você pode ter certeza disso?

Passo 1

a) A pressão absoluta do gás deve ser a pressão da atmosfera somada à pressão exercida pelo peso do pistão sobre o gás:

p = p 0 + F p e s o A

p = p 0 + m g A

Substituindo a área da circunferência do cilindro:

p = p 0 + m g π r 2

Passo 2

b) Primeiro o pistão é levantado, vamos precisar calcular a força para levantar o pistão um pouco, essa força é a própria força peso do pistão mais a força da pressão atmosférica. Ao soltarmos ele, a força muda de sentido e passa a ser exercida de cima para baixo sobre o pistão.

A força que exercemos é:

F l e v a n t a r = m g + p 0 A

Que é a força necessária para levantar o pistão. E será a força para baixo sobre o pistão no momento que ele for largado.

Para a força exercida pelo gás sobre o pistão, de baixo para cima, podemos usar a equação do gás ideal para relacionar a situação final, que é da altura do pistão h + y com a inicial de altura h :

p i V i T i = p f V f T f

Como as temperaturas são iguais nos dois estados do sistema, podemos cortar: p i V i = p f V f

Escrevendo o volume em função da área e da altura:

p i A h i = p f A h f

p i h = p f ( h + y )

p f = p i h h + y

Substituindo a pressão inicial que encontramos na letra (a):

p f = p 0 + m g π r 2 h h + y

Multiplicando os dois lados pela área da seção reta:

F g á s = A p 0 + m g A h h + y

Como o enunciado diz que h ≫ y , o último termo da equação pode ser escrito como:

h h + y = 1 1 + y h = 1 + y h - 1

E isso é aproximadamente:

1 + y h - 1 ≅ 1 - y h

A equação da força exercida pelo gás fica:

F g á s = p 0 A + m g 1 - y h

Passo 3

Fazendo a soma das duas e considerando que o sentido positivo é para cima, deixando a primeira equação negativa, já que é a força do pistão assim que foi abandonado:

F r e s u l t a n t e = p 0 A + m g 1 - y h - m g - p 0 A

F r e s u l t a n t e = - y h ( p 0 A + m g )

Substituindo a área pela área do cilindro:

F r e s u l t a n t e = - y h ( p 0 π r 2 + m g )

Passo 4

c) Para um movimento harmônico simples, podemos relacionar a frequência das oscilações com uma constante k de força:

ω 2 = k m

Podemos considerar que o sistema se comporta como um sistema massa-mola, e a força resultante pode ser escrita como: F r e s u l t a n t e = - k y

Sendo y o deslocamento pequeno em torno da posição de equilíbrio que era h .

k vai ser:

- k y = - y h ( p 0 π r 2 + m g )

k = p 0 π r 2 + m g h

E a frequência:

ω = p 0 π r 2 + m g m h

Se esse deslocamento y fosse suficientemente grande ao levantarmos o pistão, a força da atmosfera e a força peso sobre o pistão seriam praticamente uma constante, a força do gás sobre o pistão seria bem mais baixa, e a força da pressão atmosférica muito maior, já que o gás está rarefeito no interior do cilindro, fazendo com que o movimento não produza pequenas oscilações, e por isso, não é harmônico simples.

Resposta

a   p = p 0 + m g π r 2

b   F r e s u l t a n t e = - y h ( p 0 π r 2 + m g )

c   ω = p 0 π r 2 + m g m h

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