Enunciado

Uma bomba de ar é composta por um cilindro de 0,250   m de comprimento com um pistão móvel; A bomba e usada para comprimir o ar (a uma pressão absoluta igual a 1,01 × 10 5   P a ) no interior de um tanque muito grande que está a uma pressão manométrica de 4,2 × 10 5   P a . (Para o ar, C V = 20,8   J / k g ⋅ K . ) a) O pistão começa a compressão na extremidade superior aberta do cilindro; qual é a distância entre esse ponto e o ponto do cilindro no qual o ar começa a fluir para o interior do tanque? Suponha que a compressão seja adiabática. b) Se o ar entra na bomba com uma temperatura de 27   ° C , qual é a temperatura do ar comprimido? c) Qual é o trabalho realizado pela bomba para fazer 20,0   m o l s de ar entrar no tanque?

Passo 1

a) A questão deu para a gente a pressão manométrica do tanque, que é o valor da pressão acima da pressão atmosférica, para podermos calcular a distância entre o ponto inicial e o ponto no qual o ar começa a fluir, precisaremos converter essa pressão para a pressão absoluta. Para isso, basta somarmos o valor dado ao valor da pressão atmosférica:

P t a n q u e = P m a n o m é t r i c a + P a r

P t a n q u e = 4,2 × 10 5   P a + 1,01 × 10 5   P a

P t a n q u e = 5,21 × 10 5   P a

Pronto, o ar tem que estar nesse pressão dentro do pistão para poder ir para dentro do tanque.

Passo 2

Como o ar vem da atmosfera, ele está na pressão atmosférica e é comprimido pelo pistão adiabaticamente, podemos calcular a distância entre os pontos inicial e final do pistão usando a equação de compressão adiabática:

V f V i γ = p i p f

Mas como queremos a variação da posição do pistão, podemos substituir o volume por:

V = A L

Sendo L o comprimento da câmara do pistão que está variando e A a seção reta do cilindro.

A equação fica:

A L f A L i γ = p i p f

L f L i γ = p i p f

O comprimento inicial é o comprimento do cilindro inteiro, porque o pistão não começou a comprimir o ar no início do processo, as pressões nós temos, então basta calcular o comprimento final:

L f = L i p i p f 1 γ

L f = 0,250   m 1,01 × 10 5   P a 5,21 × 10 5   P a 1 1,40

L f = 0,0774   m

Usamos γ = 1,40 que é o valor do ar, mas podíamos ter calculado ele através da equação e do valor de C V dado no enunciado:

γ = C P C V

C P = C V + R

γ = C V + R C V

Passo 3

E agora fazemos a diferença entre o comprimento inicial e o final:

L i - L f = 0,250   m - 0,0774   m = 0,173   m

E achamos a distância entre o ponto inicial e o final da posição do pistão.

Passo 4

b) A temperatura pode ser calculada usando a equação de gases ideais:

P V = n R T

P = n R T V

E substituindo a pressão na equação de compressão adiabática:

T i V i γ - 1 = T f V f γ - 1

Isolamos a temperatura final:

T f = T i V i γ - 1 V f γ - 1 = T i V i V f γ - 1

E substituímos os valores da mesma maneira que fizemos antes, usando os comprimentos final e inicial:

T f = T i A L i A L f γ - 1 = T i L i L f γ - 1

T f = 300,1   K 0,250   m 0,0774   m 1,40 - 1 = 479,7   K

T f = 207   ° C

Passo 5

c) Podemos usar o C V e a relação entre o trabalho e a variação de temperatura pela equação:

W = n C V ∆ T

Já que calculamos a temperatura final no item anterior, basta substituirmos os valores:

W = 20   m o l ( 20,8   J / k g ⋅ K ) ( 300,1   K - 479,7   K )

W = - 7,47 × 10 4   J

Resposta

a   0,173   m

b   207   ° C

c   - 7,47 × 10 4   J

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