Enunciado

Um circuito consiste em uma bobina que tem auto-indutância igual a 5,00 mH e a resistência interna igual a 15,0   Ω , uma bateria ideal de 12,0 V e uma chave aberta – todos conectados em série (Figura 28-58). Em t = 0, a chave é fechada. Determine o instante em que a taxa na qual a energia é dissipada na bobina é igual à taxa na qual a energia magnética é armazenada na bobina.

Passo 1

Meus grandes gênios!

Assumindo que, inicialmente, a corrente será igual a 0, a equação que fornecerá o valor da corrente em função do tempo será:

I = I F 1 - e - t T

Onde:

I F = ε 0 R

T = L R

Tendo em mãos essa relação, poderemos encontrar o instante em que a taxa na qual a energia é dissipada na bobina é igual à taxa na qual a energia magnética é armazenada na bobina ao encontrar a fórmula que relaciona I   c o m d I d t ao igualar as taxas.

Passo 2

Vamos encontrar a equação do armazenamento da energia magnética na bobina:

d U L d t = d d t 1 2 L I 2 = L I d I d t

E a equação que fornece a relação da energia dissipada na bobina:

P = I 2 R

Igualando:

d U L d t = P

L I d I d t = I 2 R

Teremos:

I = L R d I d t  

I = T d I d t

Passo 3

Porém, quem será d I d t ?

Sendo:

I = I F 1 - e - t T

d I d t = I F d d t 1 - e - t T

d I d t = I F T e - t T

Por fim, só precisamos igualar as duas relações:

I F 1 - e - t T = T d I d t

I F 1 - e - t T = T I F T e - t T

Fazendo os devidos cortes:

1 - e - t T = e - t T

2 e - t T = 1

e - t T = 1 2

Aplicando L n em ambos os lados:

- t T = ln ⁡ 1 2

t = - T ln ⁡ 1 2

t = - L R ln ⁡ 1 2

Substituindo os valores fornecidos pela questão:

t = - 5.00   m H 15.0   Ω ln ⁡ 1 2

t = 231   μ s

Resposta

t = 231   μ s

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