Enunciado

22. Um circuito R - L - C em série é construído com um resistor de 175   Ω , um capacitor de 12,5   μ F e um indutor de 8,0   m H todos conectados através de uma fonte c a de frequência variável e uma amplitude de voltagem de 25 , 0   V . ( a ) Em qual frequência angular a impedância atingirá o seu valor mínimo e qual é a impedância nessa frequência? ( b ) Na frequência angular no item ( a ) , qual é a corrente máxima que passa pelo indutor? ( c ) Na frequência angular do item ( a ) , calcule a diferença de potencial através da fonte c a , do resistor, do capacitor e do indutor no instante em que a corrente é igual à metade do seu maior valor positivo. ( d ) No item ( c ) , como as diferenças de potencial através do resistor, do indutor e do capacitor estão relacionadas à diferença de potencial através da fonte c a ?

Passo 1

Toda essa questão vai se desenvolver a partir da sacada inicial que no item ( a ) o enunciado pergunta em qual frequência angular a impedância atingirá o seu valor mínimo, e isso vai ocorrer quando X L = X C , pois como a fórmula da impedância é dada por:

Z = R 2 + ( X L - X C ) ²

Se X L = X C então o número dentro do parêntese vai zerar e a impedância dependerá apenas de R e esse será o menor valor.

Dito isso, vamos resolver a questão!

Passo 2

( a ) A primeira parte desse item nos pede para achar em qual frequência angular a impedância atingirá o seu valor mínimo. Já vimos que isso ocorre quando X L = X C

Então:

ω L = 1 ω C → ω = 1 L C

Substituindo os valores que temos:

ω = 1 L C = 1 ( 8,00   m H ) ( 12,5   μ F ) = 3162   r a d / s

Já a segunda parte nos pede impedância, então:

Z = R 2 = R = 175   Ω

Passo 3

( b ) Sabemos que podemos calcular a amplitude da corrente por:

I = V Z

Como o enunciado nos dá amplitude da voltagem ( V ) e descobrimos a impedância ( Z ) no passo anterior é só substituir esses valores.

I = 25,0   V 175   Ω =   0,143   A

Passo 4

( c ) Para resolver esse item precisamos analisar bem a informação que o enunciado nos dar;

Ele diz que a corrente ( i ) é igual à metade do seu maior valor positivo, ou o maior positivo é o nosso I .

Sabemos que:

i = I cos ⁡ ω t

E a questão nos diz que:

i = I 2

Então se igualarmos ficaremos com:

I cos ⁡ ω t = I 2 → cos ⁡ ω t = 1 2

Sendo assim podemos descobrir quem é

ω t = arccos ⁡ 1 2 = 60 ° = π 3  

Agora sim podemos fazer o que o exercício pede!

Passo 5

Diferença de potencial através da fonte:

v = V cos ⁡ ω t = 25,0   V 1 2 = 12,5   V

Diferença de potencial através do resistor:

v R = R I = 175   Ω 0,143   A = 12,5   V

Diferença de potencial através do capacitor:

v C = V C cos ⁡ ω t - 90 ° =   I X C   c o s ( ω t -   90 ° )

                                            = 0,143 3162 r a d s 12 , 5   μ F cos ⁡ 60 ° - 90 ° = 3,13   V

Diferença de potencial através do indutor:

v L = V L cos ⁡ ω t + 90 ° =   I X L   c o s ( ω t   +   90 ° )

                                                                                                = 0 , 143   A 3162   r a d / s 8 , 00   m H c o s 60 °   +   90 ° = - 3,13   V

Passo 6

Vamos somar v R , v L e v C e ver o que acontece:

v R + v L + v C = 12 , 5   V + ( - 3 , 13   V ) + 3 , 13   V   =   12 , 5   V  

O valor que encontramos é exatamente o v da nossa fonte, ou seja:

v R + v L + v C = v

Resposta

a   ω = 3162   r a d / s

              Z = 175   Ω

b   I =   0,143   A

( c ) v = 12,5   V

            v R = 12,5   V

            v C = 3,13   V

v L = - 3,13   V

d   v R + v L + v C = v

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