Enunciado

Um círculo de raio a é removido do centro de um fino disco circular carregado uniformemente de raio b . Mostre que o potencial em um ponto no eixo central do disco a uma distância z de seu centro geométrico é dado por V z = 2 π k σ z 2 + b 2 - z 2 + a 2 , onde σ é a densidade de carga do disco.

Passo 1

Fala galera! Vamos considerar uma pequena faixa, de raio r , do disco. Essa faixa possui uma carga d Q = 2 π r σ   d r , concorda (veja que um círculo de raio r possui área π r 2 , de modo que o diferencial da área será 2 π r   d r , logo a carga d q será essa área vezes a densidade superficial).

Sendo assim, essa pequena faixa irá produzir um potencial dado por:

d V = k d Q d

onde d = x 2 + r 2 . Integrando, temos

V = k   ∫ a b 2 π σ   r x 2 + r 2 d r = 2 π σ k   ∫ a b r x 2 + r 2 d r

Consultando uma tabela de integral, podemos escrever

V = 2 π σ k x 2 + b 2 - x 2 + a 2

Resposta

Temos V = 2 π σ k x 2 + b 2 - x 2 + a 2 .

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