Enunciado

Em uma comemoração de 04 de julho (Dia da Independência dos EUA), um rojão é lançado do nível do solo com velocidade inicial de 25,0   m / s e ângulo de 30 ° da vertical. Ao atingir sua altura máxima, ele explode em vários fragmentos, dois dos quais se projetam para frente inicialmente a 20,0   m / s e a ± 53 ° em relação à horizontal, ambas as grandezas medidas em relação ao rojão original, imediatamente antes da explosão. Com que ângulos em relação à horizontal, os dois fragmentos inicialmente se movem logo após a explosão, medidos do ponto de vista de um espectador parado no solo?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Não parece, mas aqui temos uma questão de velocidades relativas: primeiro temos a velocidade do rojão, que explode, e depois temos a velocidade dos fragmentos.

Ele nos dá a velocidade dos fragmentos em relação ao rojão v → f / r . Podemos montar a forma vetorial assim para o fragmento que está a + 53 ° da horizontal assim:

v → f / r + = v f / r x ,   v f / r y

v → f / r + = 20 cos ⁡ 53 ° ,   20   s e n   53 °

E para o outro:

v → f / r - = 20 cos ⁡ 53 ° , -   20   s e n   53 °

Ambos os fragmentos vão para frente, sendo que um para cima e outro para baixo, por isso a mudança do sinal na componente y .

A componente y fica negativa porque a velocidade aponta para o sentido negativo de y .

Bora lá!

Passo 2

Agora vamos para a velocidade do rojão em relação ao solo v → r / s .

Quando o rojão explode ele está na altura máxima, ou seja, sua componente vertical da velocidade é zero. Lembrando que o enunciado diz, “ângulo de 30 ° da vertical”. Logo o ângulo está a 60 ° da horizontal. E a componente horizontal vai ser a velocidade inicial projetada em x :

v r / s x = 25 cos ⁡ 60 = 12,5 m / s

E a vertical:

v r / s y = 0

Temos então

v → r / s = 12.5 ,   0

E ele pede uma informação sobre a velocidade dos fragmentos em relação ao solo v → f / s . Podemos então montar a equaçãozinha das velocidades relativas:

v → f / s = v → f / r + v → r / s

Vamos usar essa equação para achar as v → f / s e depois achar os ângulos delas com a horizontal.

Show?

Passo 3

Vamos achar v → f / s + , que do fragmento que faz + 53 ° com a horizontal.

v → f / s + = v → f / r + + v → r / s

v → f / s + = 20 cos ⁡ 53 ° ,   20   s e n   53 ° + 12.5 ,   0

Assim a componente vertical vai ser:

v y = 20 s e n 53 = 15,97 m / s

E a horizontal:

v x = 12,5 + 20 cos ⁡ 53 = 12,5 + 12,03 = 24,53 m / s

Para achar o ângulo que esse vetor faz com a horizontal, usamos

t g   θ = v y v x = 15,97 24,53 = 0.65

θ + = a r c t g 0,65 = 33,0 °

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Vamos achar v → f / s - , que do fragmento que faz - 53 ° com a horizontal.

v → f / s - = v → f / r - + v → r / s

v → f / s - = 20 cos ⁡ 53 ° , -   20   s e n   53 ° + 12.5 ,   0

Assim a componente vertical vai ser:

v y = 20 s e n 53 = - 15,97 m / s

E a horizontal:

v x = 1255 + 20 cos ⁡ 53 = 12,5 + 12,03 = 24,53 m / s

Para achar o ângulo que esse vetor faz com a horizontal, usamos

t g   θ = v y v x = - 15,97 24,53 = 0,65

θ - = a r c t g - 0,65 = - 33,0 °

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

f r a g m e n t o   l a n ç a d o   c o m   + 53 ° :

θ + = 33,0 °

f r a g m e n t o   l a n ç a d o   c o m   - 53 ° :

θ - = - 33,0 °

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