Enunciado

O módulo da velocidade de um projétil quando atinge a altura máxima é de 10   m / s . (a) Qual é o módulo da velocidade do projétil 1,0   s antes de atingir a altura máxima? (b) Qual é o módulo da velocidade do projétil 1,0   s depois de atingir a altura máxima? Se tomamos x = 0 e y = 0 como o ponto de altura máxima e consideramos como sentido positivo do eixo x o sentido da velocidade do projétil nesse ponto, quais são (c) a coodenada x e (d) a coordenada y do projétil 1,0   s antes de atingir a tlura máxima e (e) a coordenada x e (f) a coordenada y do projétil 1,0   s depois de atingir a altura máxima?

Passo 1

A chave para entender essa questão é lembrar de duas coisas: a velocidade horizontal é constante, e a velocidade vertical varia com a aceleração da gravidade.

Então vamos fazer um desenho que mostre esses instantes antes e depois do projétil atingir a altura máxima, onde v y = 0 .

No ponto de altura máxima, o módulo da velocidade total é 10   m / s , então:

v = v x = 10   m / s

E para encontrar o módulo da velocidade vertical 1,0   s antes ou depois (dá no mesmo!), só precisamos considerar a aceleração da gravidade:

v y = v 0 y + g t

v y = 0 + 9,8 1,0

v y = 9,8   m / s

Aqui encontramos a velocidade 1,0   s depois do ponto máximo, mas o resultado teria o mesmo módulo se calculássemos a velocidade 1,0   s antes.

Então o módulo da velocidade nos dois instantes é:

v = v x 2 + v y 2

v = 9,8 2 + 10 2 = 14,0   m / s

Essa é a resposta dos itens (a) e (b).

Passo 2

Agora queremos encontrar as coordenadas em cada um dos instantes. Para isso vamos precisar de outro desenho:

Mais uma vez só precisamos fazer a conta para um dos instantes, porque as coordenadas do outro terão exatamente o mesmo módulo.

Já que a velocidade horizontal do projétil é sempre igual a 10,0   m / s , qual é a distância percorrida durante 1,0   s ?

Δ x = v Δ t

Δ x = 10,0 1,0 = 10,0   m

(c) Ou seja, se colocamos a origem do nosso sistema de coordenadas no ponto máximo, a coordenada x 1 do projétil 1,0   s antes passar pelo ponto máximo é:

x 1 = - 10,0   m

Passo 3

(d) E agora, para calcular a distância vertical percorrida durante esse mesmo intervalo, vamos usar a seguinte fórmula:

Δ y = v 0 y t - 1 2 g t 2

Estamos analisando o projétil antes de atingir a altura máxima, ou seja, o projétil enquanto ainda está subindo. Por isso aparece o sinal negativo antes da aceleração g , que está contrária à velocidade.

E nesse caso a velocidade inicial é v 0 y = 9,8   m / s :

Δ y = 9,8 1,0 - 1 2 9,8 1,0 2

Δ y = 4,9   m

Então a coordenada y 1 do projétil antes de atingir a altura máxima é:

y 1 = - 4,9   m

Passo 4

(e) Agora, para encontrar as coordenadas do projétil depois de passar pelo ponto máximo, não precisamos fazer nenhuma conta nova.

É só perceber que as distância percorridas no intervalo de tempo de 1,0   s são as mesmas, tanto na vertical quanto na horizontal.

Olhando mais uma vez para o desenho, só precisamos ajustar os resultados ao nosso sistema de referência, onde a origem está sobre o ponto máximo:

(e) Então, para a coordenada x 2 , temos:

x 2 = 10,0   m

(f) E para a coordenada y 2 , temos:

y 2 = - 4,9   m

Resposta

(a) v = 14   m / s .

(b) v = 14   m / s .

(c) x = - 10,0   m .

(d) y = - 4,9   m .

(e) x = 10,0   m .

(f) y = - 4,9   m .

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