Enunciado

Um condutor cilíndrico infinito possui raio R e uma densidade superficial de carga σ . a Com base em σ e em R , qual é a carga por unidade de comprimento λ para o cilindro? b Em termos de σ , qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo cilindro carregado a uma disância r > R do seu eixo? c Expresse o resultado do item b em termos de λ e mostre que o campo elétrico para fora do cilindro se comporta como se toda carga elétrica do cilindro estivesse concentrada em seu eixo. Compare suas respostas com o resultado obtido para um fio carregado no Exemplo 22.6 (Seção 22.4 ).

Passo 1

O primeiro passo que devemos tomar é lembrar que a densidade por unidade de comprimento é dada por:

λ = q l

Agora, vamos tentar relacionar esta equação com a da densidade superficial. Sabemos que:

σ = q A

E a área para uma superfície gaussianada cilíndrica é:

A = 2 π R l

Então:

σ = q 2 π R l → σ = λ 2 π R

E, isolando a variável de interesse:

λ = 2 π σ R

Passo 2

Para a próxima parte, devemos considerar uma susperfície gaussiana de raio r > R .

Essa superfície estará contendo a carga que vem do condutor cilíndrico original que pode ser representada através de:

q o r i g i n a l = σ A = 2 π σ R l

A partir dessa equação e da lei de Gauss, que pode ser escrita como:

Φ E = E A = Q ϵ 0 → E = Q 2 π r l ϵ 0

É possível criar uma relação entre elas:

E = Q 2 π r l ϵ 0 = 2 π σ R l 2 π r l ϵ 0

E, simplicando a equação, obtemos:

E = σ R r ϵ 0

Passo 3

Aproveitando do último resultado, pode substituir a densidade superficial pela equação com a densidade por unidade de comprimento:

E = R r ϵ 0 λ 2 π R

Simplificando:

E = λ 2 π r ϵ 0

Tal que essa é a equação que representa o campo elétrico de uma carga distribuída ao longo de um fio retilíneo (esse fio seria o eixo no qual a carga está concentrada).

Resposta

a   λ = 2 π σ R

b σ R r ϵ 0

c   λ 2 π r ϵ 0

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