Enunciado

Considere um condutor no qual o tempo τ de relaxamento dos elétrons é muito grande, ou seja, o material é quase um supercondutor. Nesse caso, na equação 21.24 os termos da diagonal da matriz quadrado podem ser desprezados quando o campo magnético for suficientemente intenso. Mostre que nesse caso a corrente elétrica e o campo elétrico são ortogonais um ao outro.

Passo 1

Na seção 21.6 do livro é feita uma longa discussão sobre as forças elétricas e magnéticas que agem sobre as cargas de um condutor transportando corrente. As equações 21.24, 21.27 e 21.28 relacionam as componentes do campo elétrico com as componentes do vetor densidade de corrente.

Eu sei que o enunciado pediu para usarmos a equação 21.24, porém acho que fica mais simples a visualização a partir da equação 21.27:

E x E y = ρ 1 - ω C τ ω C τ 1 j x j y

Observe que se trata de uma equação matricial que relaciona as componentes de j → com as componentes de E → .

Vou ressaltar que as equações 21.24, 21.27 e 21.28 são totalmente equivalentes e apenas formas diferentes de escrever a mesma coisa. Eu prefiro usar a equação 21.27 para esse problema pois o tempo característico τ aparece explicitamente nela.

O primeiro passo é puxar o fator ω C τ em evidência da matriz:

E x E y = ρ ω C τ 1 ω C τ - 1 1 1 ω C τ j x j y

Agora que vem o pulo do gato: vamos tomar o limite τ → ∞ , de modo que os termos da diagonal da matriz vão tender a zero, e vamos ficar com a seguinte aproximação:

E x E y ≈ ρ ω C τ 0 - 1 1 0 j x j y

Passo 2

Fazendo o produto de matrizes, achamos

E x = - ρ ω C τ j y               e           E y = ρ ω C τ j x

Para verificar que E → e j → são ortogonais, tomamos o produto escalar

j → ⋅ E → = j x E x + j y E y

Assim,

j → ⋅ E → = - ρ ω C τ j x j y + ρ ω C τ j x j y = 0

Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais!

Resposta

Demonstração.

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