Enunciado

a) Deduza a expressão para o valor do momento angular de uma partícula com carga q e massa m , orbitando em um campo magnético B uniforme com velocidade cuja projeção no plano normal a B tem módulo u .

b) Considere um elétron no GaAs, cuja massa efetiva é 6,2 ⋅ 10 - 32   k g , com velocidade u = 2,0 ⋅ 10 5   m / s , em um campo de 10   T . Calcule seu momento angular orbital, comparando-o com o valor ℏ = 1,05 ⋅ 10 - 34   J s que quantiza o momento angular.

c) Você julga que nesse caso o uso da mecânica clássica permanece válido?

Passo 1

Quando uma partícula de massa m e carga q é submetida a um campo magnético perpendicular a sua velocidade, ela executa um movimento circular com raio

r = m v q B

Na situação descrita no enunciado, a componente da velocidade perpendicular ao campo magnético é dada por v = u . Assim,

r = m u q B

O momento angular orbital de uma partícula em movimento circular é simplesmente o produto do raio r pelo momento p = m v = m u :

L = r m u = m u q B ⋅ m u

Portanto,

L = m 2 u 2 q B

Passo 2

Usando q = 1,6 ⋅ 10 - 19   C , m = 6,2 ⋅ 10 - 32   k g , u = 2,0 ⋅ 10 5   m / s e B = 10   T , temos que

L = 6,2 ⋅ 10 - 32 ⋅ 2 ⋅ 10 5 2 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 10

Fazendo as continhas, achamos

L = 0,93 ⋅ 10 - 34   J s

Com isso, podemos tomar a razão

L ℏ = 0,93 1,05 = 0,91 → L = 0,91   ℏ

Vemos que o momento angular orbital desse elétron é 91 % da constante de Planck reduzida! Note, portanto, que a ordem de grandeza do momento angular do sistema é tão pequena que se torna comparável com valores quânticos (constante de Planck), de forma que não estamos mais no regime clássico: torna-se necessário usar a mecânica quântica. Isso responde o item (c): não, não estamos mais no regime de validade da mecânica clássica!

Resposta

L = m 2 u 2 q B

L = 0,93 ⋅ 10 - 34   J s

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