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Considere o dipolo elétrico do Exemplo 21.15

(a) Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo x da figura 21.34. Qual é a direção e o sentido desse campo elétrico?

(b) Como o campo elétrico nos pontos sobre o eixo x depende de x quando este é muito grande?

Passo 1

(a) Temos que deduzir uma expressão para o campo elétrico de um dipolo. Um dipolo é composto por duas cargas de mesmo módulo, mas sinais opostos. Bom, nossa situação é basicamente essa aqui:

O que tá acontecendo aí: temos o dipolo e a origem do sistema no centro dele, ou seja, a carga positiva está d / 2 acima do eixo x e a carga negativa está d / 2 abaixo, ok?

A distância do ponto que queremos calcular até a origem é x . E a distância entre cada carga e o ponto é r = d 2 2 + x 2 .

Temos que o campo elétrico gerado pela carga positiva estará na direção positiva de E → + e o campo gerado pela carga negativa estará no sentido de E → - , isso ocorre por conta dos sinais das cargas, show?

Dessa forma, podemos ver até pela figura, que as componentes no eixo x dos campos se cancelam (estão em pontilhado ali), isso acontece por simetria: as duas cargas são iguais em módulo e estão a uma mesma distância do ponto.

Logo, sobrarão as duas componentes na direção negativa de y . Como estamos interessados apenas no módulo do campo, não precisaremos da direção por enquanto, mas guarda para mais tarde rs. Assim, o campo resultante:

E = E + y + E - y

Como as duas cargas estão a uma mesma distância r do ponto e possuem o mesmo valor em módulo: E + y = E - y e: E = 2 E + y

Olhando para a figura, vemos que E + y = E + s i n ( θ ) e que:

sin ⁡ θ = d 2 r = d 2 d 2 2 + x 2

Com isso:

E + y = E + d 2 d 2 2 + x 2

Onde E + = 1 4 π ϵ 0 ∙ q r 2 = 1 4 π ϵ 0 ∙ q d 2 2 + x 2 , que é o campo para uma carga pontual. Dessa forma:

E + y = 1 4 π ϵ 0 ∙ q d 2 2 + x 2 ∙ d 2 d 2 2 + x 2

E:

E = 2 E + y

E = 2 ∙ 1 4 π ϵ 0 ∙ q d 2 2 + x 2 ∙ d 2 d 2 2 + x 2 1 / 2  

Arrumando um pouquinho:

E = 2 4 π ϵ 0 ∙ q d 2 2 + x 2 3 / 2 ∙ d 2

Simplificando o 2 e sabendo que o momento dipolo p = q d :

E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p d 2 2 + x 2 3 / 2

E agora sim, vamos usar a informação de que esse campo elétrico estará na direção negativa de y , logo - j ^ .

Passo 2

(b) Vamos olhar com carinho para a fórmula do campo que achamos:

E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p d 2 2 + x 2 3 / 2

Se x é muuuito grande, x vai ser bem maior que d também, ou seja, x ≫ d . E, com isso, x 2 ≫ ≫ d 2 2 . Logo, o d 2 2 se torna desprezível ali no denominador e o nosso campo se reduz a:

E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p x 2 3 / 2

Arrumando esse denominador:

E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p x 3

Prontinho, é isso que acontece quando x é muito grande.

Resposta

(a) E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p d 2 2 + x 2 3 / 2 , na direção - j ^ .

(b) E = 1 4 π ϵ 0 ∙ p x 3

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