Enunciado

Considere o exemplo visto na Seç. 6.8 de uma solução iônica de HCl com um gradiente de concentração na direção x , em circuito aberto, em equilíbrio térmico à tempertatura T .

  1. Usando os resultados obtidos, calcule a razão n ( x 2 ) / n ( x 1 ) das concentrações de íons nos terminais x 2 e x 1 , entre os quais existe uma fem E .
  2. Identificando o resultado com o fator de Boltzman e x p ⁡ ( - E / k T ) , demonstre a relação de Einstein D + μ + = k T .
  3. Para uma razão de concentrações n x 2 n x 1 = 10 , à temperatura ambiente, calcule a fem resultante E .

Passo 1

Vamos lá! Na seção indicada, encontramos que o campo elétrico é definido por

E = - D + e μ + l n n x 2 n x 1

Se aplicarmos a exponencial dos dois lados, poderemos escrever

n x 2 n x 1 = e - e E μ + / D +

Passo 2

Vamos fazer agora o item (b).

O fator de Boltzman é

e E / k T

Podemos lembrar que a ddp pode ser escrita como

E = w q ⟹ w = E q

Consideraremos o trabalho w como a energia E da constante de Boltzman. Sendo assim,

e - e E μ + / D + = e E / k T .

Substituindo q ⇒ - e , temos

1 k T = μ + D + ⇒ k T = D + μ +

Passo 3

Para o item (c), só precisamos substituir n x 2 n x 1 = 10 na expressão da fem.

E = - D + e μ + l n 10

Resposta

a )       n x 2 n x 1 = e - e E μ + / D +

b )       k T = D + μ +

c )   E = - D + e μ + l n 10

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