Enunciado

Uma espira em forma de retângulo, de lados 2 a e 2 b , transportam uma corrente de intensidade i .

  1. Calcule a magnitude do campo magnético no centro do retângulo.
  2. Tome o limite do resultado para a ≫ b e discuta a relação com o encontrado no Problema 2.

Passo 1

Se liga! Vamos primeiro visualizar o problema!

Agora podemos começar pelo fio 1. Beleza?!

precisamos lembrar que o campo devido a um pedaço infinitesimal de um fio é dado por

d B → = μ 0 i 4 π   d l → × r 1 → r 1 2  

Pela figura e usando a regra da mão direita para definir a direção e sentido do campo, temos

d B → = μ 0 i 4 π   a d x x 2 + a 2 3 / 2   k ^     .

Passo 2

Para achar o campo produzido por todo o segmento vamos calcular a metade do segmento, no intervalo de 0 ≤ x ≤ b (Isso vai diminuir a nossa chance de errar), e depois multiplicar por dois

B = ∫ 0 b μ 0 i 4 π   a d x x 2 + a 2 3 / 2 = μ 0 i a 4 π ∫ 0 b   d x x 2 + a 2 3 / 2

Essa integral tem na tabela. Pela tabela temos

∫   d x x 2 + a 2 3 / 2 = x a 2 a 2 + x 2 + C

Então, podemos aplicar o intervalo de integração e pronto.

∫ 0 b   d x x 2 + a 2 3 / 2 = b a 2 a 2 + b 2  

Substituindo o valor da integral e retornando com a direção do campo, temos

B → = μ 0 i a 4 π   b a 2 a 2 + b 2 = μ 0 i 4 π a b a 2 + b 2   z ^

Não podemos esquecer que isso é apenas a metade do segmento, para o segmento inteiro precisamos multiplicar por dois.

B 1 → = μ 0 i 2 π a b a 2 + b 2   z ^

Passo 3

Vamos calcular o segmento 3?! Não precisamos, devido a simetria, podemos dizer que ele terá o mesmo valor do segmento 1.

B 3 → = μ 0 i 2 π a b a 2 + b 2   z ^

Passo 4

Para o segmento 4, podemos usar a mesma ideia que tivemos para o 1! Se liga!

d B → = μ 0 i 4 π   d l → × r 4 → r 4 2

Pela figura e usando a regra da mão direita para definir a direção e sentido do campo, temos

d B → = μ 0 i 4 π   b d x y 2 + b 2 3 / 2   k ^     .

Passo 5

Para achar o campo produzido por todo o segmento vamos calcular a metade do segmento, no intervalo de 0 ≤ y ≤ b , e depois multiplicar por dois

B = μ 0 i b 4 π ∫ 0 a   d y y 2 + b 2 3 / 2

A integral é bem parecida com a anterior né, novamente usaremos a tabela. Já colocando o resultado na equação temos

B 4 → = μ 0 i 2 π b a b 2 + a 2   z ^

Passo 6

Também não precisamos calcular para o fio 2, devido a simetria, podemos dizer que ele terá o mesmo valor do segmento 4. Logo

B 2 → = μ 0 i 2 π b a b 2 + a 2   z ^

Passo 7

Agora só precisamos somar todos os campos

B → = B 1 → + B 3 → + B 2 → + B 4 → = μ 0 i π a b a 2 + b 2   z ^ + μ 0 i π b a b 2 + a 2   z ^

B → = μ 0 i π a 2 + b 2 b a + a b z ^

Resposta

a )     B → = μ 0 i π a 2 + b 2 b a + a b z ^

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