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Considere um objeto que está preso a um pistão que oscila horizontalmente. O objeto se move com velocidade dada por v = B sen ⁡ ω t , onde B e ω são constantes e ω está em s - 1 . (a) Explique porque B é igual à velocidade máxima v m á x . (b) Determine a aceleração do objeto como uma função do tempo. A aceleração é constante? (c) Qual é a magnitude da aceleração máxima em termos de ω e v m á x . (d) Em t = 0 , a posição do objeto é igual x 0 . Determine a posição como função do tempo em termos de t , ω , x 0 e v m á x .

Passo 1

(a) O enunciado diz que a velocidade é dada pela seguinte função:

v = B sen ⁡ ω t

Nós sabemos que a função sen ⁡ ( x ) varia apenas no intervalo - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 , ou seja, 1 é o maior valor que ela pode assumir.

Então a velocidade máxima acontece quando sen ⁡ ( ω t ) = 1 , e então:

v m á x = B

Se B for negativo, então a velocidade máxima acontece parra sen ⁡ ω t = - 1 .

Passo 2

(b) Para determinar a aceleração precisamos lembrar da seguinte relação:

a t = d v d t

E então:

a t = d d t B sen ⁡ ω t

E usando a regra da cadeia para resolver essa derivada, ficamos com:

a t = B ω cos ⁡ ω t

E então a aceleração não é constante.

Passo 3

(c) A função cos ⁡ ( x ) também varia apenas entre - 1 e 1 , e a aceleração terá sua magnitude máxima nesses dois extremos:

a m á x = B ω ( 1 )

E lembrando que v m á x = B , podemos escrever que:

a m á x = ω v m á x

Passo 4

(d) Agora queremos achar a função da posição x ( t ) , para isso podemos integrar a função da velocidade que foi dada no enunciado:

x t = ∫ 0 t v t d t

x t = ∫ 0 t B sen ⁡ ω t   d t

x t = - B ω cos ⁡ ω t + C

E vamos usar a condição inicial, de que x 0 = x 0 , para ajustar a constante:

x 0 = - B ω cos ⁡ 0 + C

x 0 = - B ω + C

E então a constante é:

C = x 0 + B ω

E a função da velocidade é:

x t = - B ω cos ⁡ ω t + x 0 + B ω

Substituindo B = v m á x :

x t = v m á x ω 1 - cos ⁡ ω t + x 0

Resposta

(a) v m á x = B .

(b) a t = B ω cos ⁡ ( ω t ) .

(c) a m á x = ω v m á x .

(d) x t = v m á x ω 1 - cos ⁡ ω t + x 0 .

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