Enunciado

Imagine que você está de pé sobre um poço dos desejos, desejando que você pudesse saber a profundidade da superfície da água. Sabiamente, você faz o seu desejo. Então você pega uma moeda do seu bolso e solta no poço. Exatamente três segundos depois de soltar a moeda, você ouve o som que ela fez ao atingir a água. Se a velocidade do som é 343   m / s , qual a profundidade da superfície? Desconsidere quaisquer efeitos devidos à resistência do ar.

Passo 1

Vamos começar encontrando uma expressão para o tempo que o som leva para viajar a profundidade h do poço:

v = Δ s Δ t s o m

343 = h Δ t s o m

Δ t s o m = h 343

E então, daqueles três segundos que nós demoramos para ouvir o som da água, só uma parte é devido ao trajeto do som até nosso ouvido:

Δ t = Δ t m o e d a + Δ t s o m

3 = Δ t m o e d a + h 343

Passo 2

Agora vamos encontrar uma expressão para o tempo de queda da moeda. Quanto tempo um objeto solto do repouso, em queda livre, demora para percorrer uma distância h :

Δ y = y o + v 0 t + g t 2 2

E então:

h = g Δ t m o e d a 2 2

Δ t m o e d a = 2 h g

Substituindo isso na fórmula de cima:

3 = 2 h g + h 343

Passo 3

Agora é só resolver essa equação. Vamos isolar a raiz quadrada, e então elevar ambos os lados ao quadrado:

2 h g = 3 - h 343

2 h g = 9 - 6 h 343 + h 2 343 2

E então ficamos com uma equação do segundo grau:

1 343 2 h 2 - 2 g + 6 343 h + 9 = 0

E substituindo os valores numéricos, ficamos com:

8,50   .   10 - 6 h 2 - 0,2213 h + 9 = 0

Podemos encontrar as raízes usando a fórmula de sempre:

h = 0,2213 ± 0,2213 2 - ( 4 ) ( 8,50.10 - 6 ) ( 9 ) 2 8,50.10 - 6

h = 0,2213 ± 0,2206 1,7   .   10 - 5

E as duas soluções são h ≅ 26   k m e h = 41   m . A primeira solução é grande demais para o caso de um poço, então ficamos apenas com a segunda.

Resposta

A superfície está a 41   m de profundidade.

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