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Uma corda oscila de acordo com a equação

y = 0,50 c m s e n [ ( π 3 c m - 1 ) x ] c o s ⁡ [ 40 π s - 1 t ]

Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz essa oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d)Qual é a velocidade transversal de uma partícula na corda no ponto x = 1,5   c m para t = 9 8 s ?

Passo 1

(a)Aqui, lembre-se que o valor que multiplica o seno e o cosseno na equação de uma onda estacionária desse tipo é igual ao dobro das amplitudes das duas ondas que a geram ( y m )   . Assim, temos:

2 y m = 0,50 c m

y m = 0,25   c m  

Passo 2

(b)A velocidade das duas ondas pode ser encontradas assim:

v = λ × f

Temos como descobrir λ e f a partir dos valores de k = 2 π λ e ω = 2 π T = 2 π f ,que são implicitamente demonstrados na equação da onda: k é o valor que multiplica x e ω é aquele que multiplica t .

Então, a gente tem que k = 2 π λ = π 3   c m - 1 e ω = 2 π f = 40 π   r a d / s . Então, vem:

λ = 2 π k = 2 π π 3 = 6   c m = 6 × 10 - 2 m

f = 20   H z

Daí, encontrar v é instantâneo:

v = 6,0 × 10 - 2   m × 20   s - 1 = 1 , 2   m / s

Passo 3

(c)Lembre-se de que numa onda estacionária a distância entre dois nós é dada por metade do comprimento de onda. Daí, encontramos que essa distância é igual a λ 2 = 3,0   c m

Passo 4

(d) Sempre que uma questão pedir a velocidade em um ponto e um instante de tempo específicos, primeiro a gente tem que derivar a equação que relaciona posição e tempo e depois substituir os valores de x e de t na equação encontrada ao final. Daí, fazendo isso, a gente encontra isso aqui:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = ∂ 0,50 c m s e n π 3 c m - 1 x cos ⁡ 40 π s - 1 t ∂ t

v x , t = - 40 π   s - 1 × 0,50 c m s e n π 3 c m - 1 x sen ⁡ 40 π s - 1 t

Então,

v 1,5   m , 9 8 s = - 40 π   s - 1 × 0,50 c m s e n π 3 c m - 1 1 , 50   c m sen ⁡ 40 π s - 1 9 8 s

v 1,5   m , 9 8 s = - 20   c m / s   s e n π 2 sen ⁡ 45 π

E como s e n 45 π = 0

v 1,5   m , 9 8 s = 0   m / s

Resposta

  1. 0,25   c m  
  2. 1 , 20   m / s
  3. 3,0   c m
  4. 0   m / s

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