Enunciado

Na figura, um fio de alumínio de comprimento L 1 = 60,0   c m e seção reta 1,00 × 10 - 2 c m ² e massa específica 7,80   g / c m ³ e mesma seção reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m = 10,0   k g , está disposto de tal forma que a distância L 2 entre o ponto de solda e a polia é 86,6   c m . Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de frequência variável; um nó está situado na polia. (a)Determine a menor frequência que produz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) Quantos nós são observados para essa freqüência?

Passo 1

(a)Vamos entender primeiro o que acontece quando o fio é excitado. Como as duas seções dele são excitadas por uma mesma fonte, que transmite sua freqüência da vibração para ambas, elas vibram com uma mesma freqüência.

Beleza! Mas e quanto à velocidade e o comprimento de onda? Eles dependem das propriedades do meio de propagação da onda! Por isso são diferentes para o alumínio e para o aço.

Usando o fato de que as freqüências são as mesmas, a gente tem:

f = v 1 λ 1 = v 2 λ 2

Passo 2

Além disso, em ambas as seções acontece que L = n × λ 2 (pois elas estão fixas em ambas as extremidades devido à presença da solda). Então L 1 = n 1 λ 1 2 e L 2 = n 2 λ 2 2 .

É muuito importante lembrar sempre, também, que v = T / μ , em que T e μ são a tensão na corda e sua densidade linear. Além disso, a densidade volumétrica é dada por ρ = μ / A . Disso, a gente pode concluir nesse passo que:

v 1 = T ρ 1 A

v 2 = T ρ 2 A

Reforçando que as duas seções da corda possuem a mesma área transversal A e estão sujeitas a uma mesma tensão T . Das duas expressões acima e do fato de que v 1 = λ 1 f e v 2 = λ 2 f , vem:

λ 1 f = T ρ 1 A

λ 2 f = T ρ 1 A

Passo 3

Top! Lembra que a gente achou no passo 2 que L 1 = n 1 λ 1 2 e L 2 = n 2 λ 2 2 ? Vamos usar essas duas expressões na última do passo 2:

2 L 1 n 1 × f = T ρ 1 A

2 L 2 n 2 × f = T ρ 2 A

Agora, bora dividir essas duas expressões (os primeiros membros e os segundos). Com isso, a gente tem isso como resultado:

n 2 n 1 × L 1 L 2 = ρ 2 ρ 1

Isolando n 2 n 1 :

n 2 n 1 = ρ 2 ρ 1 × L 2 L 1 = 2,50

Passo 4

Beleza! A gente viu que n 2 n 1 = 2,50 , mas como isso pode nos ajudar a encontrar a menor freqüência que produz uma onda estacionária se propagando no fio (composto de dois materiais diferentes)? Ah, meu caro! A chave para essa resposta está no fato de que uma onda estacionária só será obsrvada quando n 2 e n 1 forem números inteiros. Na verdade, isso significa que em cada seção do fio ondas estacionárias vibrando nos harmônicos n 1 e n 2 serão formadas.

Daí, a gente tem que encontrar os menores números inteiros n 2 e n 1 para os quais n 2 n 1 = 2,50 . Eles são iguais a n 2 = 5 e n 1 = 2 . Ótimo! Com n 2 = 5 e n 1 = 2 , a gente encontra f substituindo um desses valores em 2 L 1 n 1 × f = T ρ 1 A   ou 2 L 2 n 2 × f = T ρ 2 A . Fazendo isso para a primeira, encontramos:

f = n 1 2 L 1 × m g ρ 1 A = 2 2 × 0,6 m × 10,0 k g ( 9,8 m s 2 ) 2,60 × 10 3 k g m 3 ( 1,00 × 10 - 6 m 2 ) ≅ 324   H z

Passo 5

(b)O número total de nós é dado por n 1 + n 2 + 1 = 8   n ó s .

Resposta

(a) 324   H z

(b) 8 nós

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