Enunciado

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Uma corda sujeita a uma tensão de 200   N e fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocarnento da corda é dado por

y = 0,10   m s e n π x 2 s e n ( 12 π t )

Onde x = 0 em uma das extremidades da corda, x   está em metros e t está em segundos. Qual é (a)o comprimento da corda, (b)a velocidade das ondas na corda e (c)a massa da corda? (d)Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que uma corda sujeita a uma tração T = 200   N , fixa nas duas extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. E sabendo que o deslocamento da corda é dado como:

y = 0,10   m sen ⁡ π x 2 sen ⁡ 12 π t

Em que x = 0 é uma das extremidades das cordas, o enunciado nos pede para calcular, na letra (a), o comprimento da corda.

Belezoca, então primeiro de tudo vamos entender o que significa a corda oscilar no segundo harmônico. Precisamos lembrar que quando uma corda está fixa em suas duas extremidades, e por ela oscila uma onda estacionária no n-ésimo harmônico, temos que seu comprimeto L é dado como:

L = n × λ 2

Onde n é o número do harmônico em que a corda está oscilando e λ é o comprimento de onda! Sendo assim, vamos obter que o tamanho da corda será:

L = 2 × λ 2

L = λ

Iradoso, isso quer dizer que se a gente encontrar o comprimento de onda λ , podemos determinar o valor de L . Então bora lá!

Passo 2

Belejóia, o valor de λ a gente consegue encontrar a partir da relação com o número de onda k , dada como:

k = 2 π λ

E malandragem de usar essa relação, é que a forma da equação de onda que nos é dada te essa informação de k :

y = 0,10   m sen ⁡ π x 2 sen ⁡ 12 π t

Onde k é o número que acompanha o x , sendo assim:

k = π 2

Logo:

π 2 = 2 π λ

Então isolando λ :

λ = 4,00   m

Passo 3

Maravilha, agora na letra (b), a velocidade é encontrada a partir dessa equação aqui:

v = λ f

Já sabemos quem é λ , então precisamos determinar o valor de f . E aqui a gente pode ser malandro mais uma vez.

Afinal, na função de onda, se k é o valor que acompanha o x , o valor que acompanha o tempo t será a frequência angular ω , que possui relação com a frequência f através da fórmula:

ω = 2 π f

E como a função de onda y = 0,10   m sen ⁡ π x 2 sen ⁡ 12 π t nos fornece que ω = 12 π , obtemos que:

12 π = 2 π f

Então isolando f :

f = 6   Hz

Prontinho, depois de toda essa bagunça, podemos substituir esse valor na equação da velocidade, tal que:

v = λ f

v = 4,00 × 6

v = 24   m/s

Passo 4

Belezinha, agora na letra (c), como queremos encontrar a massa M , vamos precisar de uma equação que relaciona ela com outras grandezas que já conhecemos, pra isso podemos utilizar essa daqui:

v = T μ

Onde T é a tensão na corda, enquanto que μ é a densidade linear, que é justamente ela que se relaciona com a massa através da equação:

μ = M L

Entao substituindo esses valores na equação, com T = 200   N , obtemos:

v = 200   N M L

Logo, como descobrimos que v = 24   m/s , teremos que:

24   m/s = 200 N M 4   m

Isolando M , vamos encontrar:

M = 1,4   kg

Passo 5

(d)Finalmente, supondo que ela oscila no terceiro harmônico, temos:

L = 3 × λ 2

Como L foi encontrado antes como sendo igual a 4,0   m , a gente tem que no terceiro harmônico acontece isso aqui:

λ = 2 L 3

Como v = λ × f , vem:

f = v λ

f = 24   m/s 2 × 4,0 3   m

f = 9,0   H z

Agora finalmente podemos achar o período, de modo que:

T = 1 f

T = 1 9

T = 0,11 s

Resposta

  1. 4     m
  2. 24   m/s
  3. 1,4   kg
  4. 0,11   s

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