Enunciado

(a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, que a variação percentual de velocidade Δ v / v produzida por uma variação Δ T / T da tensão na corda é dada por Δ v v = 1 2 Δ T T . (b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de frequência v = 440   H z , para compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambas soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5   s . Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la?

Passo 1

(a) A velocidade de propagação da onda no fio segue a seguinte fórmula:

v = T μ

Para descobrir o que acontece quando a tensão sobre uma pequena variação, vamos derivar a expressão em relação à tensão:

d v d T = 1 2 μ T

Podemos aproximar essa derivada como uma razão:

d v d T ≈ Δ v Δ T = 1 2 μ T

Ou seja:

Δ v = 1 2 Δ T μ T

Para chegar na expressão que o enunciado pediu, vamos dividir os dois lados por v :

Δ v v = 1 2 Δ T v μ T

E substituindo v = T / μ , ficamos com:

Δ v v = 1 2 Δ T μ T μ T

Δ v v = 1 2 Δ T T

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Agora nós temos uma situação em que duas ondas estão interagindo para produzir batimentos.

Se as intensidades dos batimentos se repetem a cada 0,5   s , então:

τ b a t = 0,5   s

Esse é o período dos batimentos. A partir disso podemos calcular a frequência:

f b a t = 1 0,5 = 2   H z

A frequência dos batimentos é a diferença de frequência das duas ondas em questão. É essa diferença que queremos corrigir ajustando apenas a tensão da corda do piano.

Passo 3

Bom, então precisamos relacionar a variação da tensão T da corda piano com a frequência f emitida pela corda.

Começamos relacionando a frequência com a velocidade:

v = λ f         ⇒         Δ v = λ Δ f

Dividindo os dois lados por v :

Δ v v = λ Δ f v = λ Δ f λ f = Δ f f

Δ v v = Δ f f

Agora vamos aproveitar a relação que encontramos no item anterior para substituir Δ v / v :

1 2 Δ T T = Δ f f

E a fração do lado esquerdo é a “diferença percentual na tensão” que queremos calcular. Vamos substituir os valores numéricos:

Δ T T = 2 Δ f f = 2 2 440 = 0,91   %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) O ajuste percentual necessário é de 0,91 % .

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