Enunciado

Um corpo de massa m= 300g , enfiado num aro circular de raio R= 1m situado num plano vertical, está preso por uma mola de constante elástica k = 200 N/m ao ponto C, no topo do aro (Fig.). Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade chegará a B?

Passo 1

Se usarmos leis de Newton aqui vai dar um trabalhão né galera? Vamos apelar para o teorema trablho – energia cinética. Para descobrir nosso trabalho resultante vamos apelar para quem? Haha, nossa energia potencial! Vem comigo!

- Δ U = W r e s

(Já que todas as forças atuantes são conservativas)

U i - U f = W r e s

Vamos primeiro considerar a energia potencial de B como nula para facilitar as coisas, e é até mesmo natural que seja assim, já que B é o ponto mais baixo da trajetória e a posição de equilíbrio da mola, beleza?

A energia no ponto A é dada por

U e l + U g = 1 2 k Δ x 2 + m g z

Nossa missão agora é achar esses valores, vamos fazer um esqueminha pra ver como fica

Podemos perceber que o triângulo de cima, onde o lado maior é a mola, é isósceles e por isso tem seus ângulos laterais são de 30 ° , já que o central é 120 ° . Dito isso, a gente pode calcular aquela distância d , que é metade do comprimento da mola no ponto A. Fica asism

d = R c o s 30 °

x = 2 d = 2 R c o s 30 °

Daqui a gente já sabe de quanto foi a deformação da mola, certo? Se no equilíbrio seu comprimento é 2 R     →    

  Δ x = 2 R - 2 R c o s 30 °

= 2 R 1 - c o s 30 °

Agora pra saber o quanto o corpo está acima do ponto B, basta fazermos 2 R - h . Pelo nosso esquema temos

h = ( 2 d )   c o s 30 ° = ( 2 R c o s 30 ° ) c o s 30 °

= 2 R c o s 2 30 °

= 2 R 3 4 = 3 R 2

Então nossa altura fica

z = 2 R - 3 R 2 = R 2

Passo 2

Pronto, agora que encontramos nossos valores vamos calcular a anergia potencial do sistema em A

U A = 1 2 k Δ x 2 + m g z

= 1 2 k 2 R 1 - 3 2 2 + m g R 2

= 1 2 4 k R 2 1 - 3 2 2 + m g R

  • R = 1 m
  • m = 0,3   k g
  • k = 200   N / m
  • g = 9,8   m / s 2
  • 1 - 3 2 2 = 0,018

U A = 8,67   J

Passo 3

Como U i - U f = U i - 0 = U A , temos

U A = W r e s

W r e s = 8,67   J

Finalmente, o teorema do trabalho e energia cinética que comentamos no começo

m v 2 2 = 8,67  

v = 2   .   8,67 0,3

= 7,6   m / s

Resposta

v = 7,6   m / s

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