Rolamento sem Deslizamento

Teoria Completa

O que é Rolamento?

Já estudamos movimentos de translação e de rotação. E se juntarmos os dois, o que acontece?

Temos o movimento de rolamento. O exemplo mais simples que eu posso te dar é um roda rolando sobre uma superfície.

Tá, e o que tem de interessante nisso? Já vimos que no movimento de rotação cada ponto em uma roda de raio R que gira com uma velocidade angular ω , tem uma velocidade linear dada por v = ω R .

Se o centro de massa dessa roda também translada com uma velocidade v C M , então cada ponto que falamos anteriormente, terá a sua velocidade modificada, ou seja, temos que somar para cada ponto a velocidade v C M .

Isso fica bem mais fácil de visualizar com essa figura esperta aqui!

E aqui temos um rolamento acontecendo, mas e aí tem deslizamento ou não?

O que é Rolamento sem deslizamento?

A figura que foi mostrada, representa um rolamento sem deslizamento mas o que é isso?

O rolamento sem deslizamento é caracterizado pela velocidade no ponto de contato com o solo ser igual a 0.

Ou seja, o ponto onde a velocidade toca o solo está em repouso!

E por isso a gente pode usar a seguinte relação pra velocidade do centro de massa:

v C M = ω R

E se derivarmos essa equação em relação ao tempo temos também que

a C M = α R

Essas equações só serão válidas para rolamento sem deslizamento!

Força e Torque no Deslizamento

Imagina que a roda abaixo desce rolando uma montanha, sem deslizar.

Se a massa da roda é 5kg e ela possui raio R = 1,0 m , encontre a aceleração da roda que foi impulsionada com F → = 100 N dado que o coeficiente de atrito cinético do solo é μ c = 0.5 .

Na imagem acima, mostramos as forças que agem sobre a roda.

A força de atrito aponta para a esquerda. Quando você quiser descobrir o sentido da força de atrito, pense no ponto de contato. O ponto de contato O tende a deslizar para qual lado? Para a direita, né? Por quê? Por que a velocidade do centro de massa aponta para a direita (e é ela que aumenta)! Então a F a t irá apontar para a esquerda.

Outra coisa importante aqui é que estamos usando o atrito estático, viu? Isso por que esse ponto de contato está parado ;)

Primeiramente escrevemos a segunda lei de Newton para o movimento horizontal dessa roda

M a = F - F a t

Maneiro! Só nos falta a força de atrito, então é só usar

F a t = μ N

Certo?

ERRADO! Cuidado para não cair nessa pegadinha! A F a t só vale isso quando ela é máxima!

Mas... E agora? Como encontrar o valor da F a t ?

Bem, estamos falando de rotação certo? Quais forças aqui exercem torque? Somente o atrito! Isso porque todas as outras forças apontam na direção do centro de massa da roda.

Se escrevermos a irmãzinha da segunda lei de Newton

τ = I α

O torque, τ , será dado por

τ = F a t R

Substituindo, temos:

F a t R = I α

Como estamos lidando com uma rotação sem deslizamento, podemos usar

a = α R

a R = α

E aí :

F a t R = I a R

F a t = I a R 2

E como a gente tá falando de um disco o momento de inércia é dado por:

I = M R 2 2

F a t = M R 2 2 . a R 2  

Enfim a relação da F a t :

F a t = M a 2

Agora podemos voltar para a nossa outra equação

M a = F - F a t = F - M α 2

Isolando a aceleração

M a + M a 2 = F

1,5 M a = F

a = F 1,5 M  

Substituindo os valores então, temos:

a = 100 1,5 × 5 = 13,33 m / s 2

E aqui está a nossa aceleração, e se quisermos a aceleração angular?

a R = α

Então:

α = 13,33 1 = 13,33 r a d / s 2

Energia Mecânica no Rolamento sem Deslizamento

E se a nossa roda estivesse aqui? Qual vai ser a velocidade lá em baixo se a roda está em repouso, e a altura é h = 10   metros?

Se não há deslizamento podemos dizer que há conservação de energia mecânica que é composta de:

E p + K T r a n s + K R o t = E m e c

Onde:

K T r a n s = M v c m 2 2

K R o t = 1 2 I ω 2

Mas caramba, a gente não falou de força de atrito aqui? A energia se conserva nesse caso?

A resposta é SIM!

E m i = E m f

Mas como isso?

No caso de um rolamento sem deslizamento, o ponto de contato com o solo está parado certo? É nesse ponto que o atrito atua também.

A energia que o atrito tiraria do sistema teria que ser dada pelo seu trabalho

W F a t = F a t d

Só que o ponto de contato da roda com o solo está parado! Ou seja, o deslocamento é 0 , o que significa que o trabalho realizado pelo atrito também é zero, assim, conservando a energia mecânica!

Então reescrevendo a equação da energia mecânica com as equações de cada energia:

E m i = E m f

E se liga se a roda está em repouso tanto a energia de translação quanto a de rotação iniciais serão 0, e como a altura lá em baixo é zero a energia potencial também será 0 no final.

M g h + 0 + 0 = M v c m 2 2 + 1 2 I ω 2 + 0

Substituindo o momento de inércia:

I = M R 2 2

A equação fica :

M g h = M v c m 2 2 + 1 2 × 1 2 M R 2 ω 2

E como:

ω = v c m R

Temos:

M g h = M v c m 2 2 + 1 4 × M R 2 v c m R 2 2

Eliminando alguns termos repetidos temos:

M g h = M v c m 2 2 + M v c m 2 4

Enfim cortando as massas e somando os termos temos

g h = 3 4 v c m 2

Isolando v c m :

v c m = 4 g h 3 = 4 3 × 9,81 × 10

v c m = 11,43 m / s

E repara, no final toda a energia potencial acabou se convertendo em cinética de translação e rotação, aumentando a velocidade do corpo.

Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-4

Aplica-se uma força de 3000N a um rolo compressor que tem a forma de um cilindro maciço uniforme de raio 0,5m e massa 1000kg, conforme a figura. O cilindro rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. A aceleração do centro de massa e coeficiente de atrito mínimo para impedir o deslizamento valem , respectivamente:

a) 3   m / s 2   e   0,1

b) 3 m / s 2   e   0,2

c) 1   m / s 2   e   0,1

d) 2   m / s 2   e   0,1  

e) 2,5   m / s 2   e   0,2

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Passo 1

Fazendo uma figurinha melhor, haha:

Isolando as forças, teremos:

Passo 2

Achando as equações de Newton do sistema, teremos:

Na vertical:

N - P = 0   ∴ N = P

Na horizontal:

F - F a t = m . a x

3000 - F a t = 1000 . a x

Como ele quer o coeficiente mínimo, temos que garantir que a força de atrito seja estática em seu valor máximo, ou seja:

3000 - μ . 1000.10 = 1000 . a x

3 - 10 μ = a x

Torque:

Como as forças N → ,   P →   e   F →   têm linha de atuação que apontam para o centro da face do cilindro, não realizam torque, logo, somente a força de atrito causará torque:

F a t . R =   τ = I . α

10000 μ . 0,5 = I . α

Passo 3

Sabemos que o nosso α é dado por:

α = a X R = a x 0,5 = 2 a x

Além disso, “sabemos”, ou deveríamos saber que o momento de inércia do cilindro com seu eixo de rotação no centro da face é dado por:

I = M R 2 2

10000 μ . 0,5 = 1000.0,5 2 2 . 2 a x

5 μ = 0,25 a x

a x = 20 μ

Passo 4

Substituindo esse último resultado na equação de Newton com as forças verticais, teremos:

3 - 10 μ = a x = 20 μ

30 μ = 3

μ = 0,1

Como a x = 20 μ :

a x = 2 m / s 2

Resposta

d) 2   m / s 2   e   0,1  

Exercício Resolvido #2

USP- PSUB-2015-Q2

Na figura abaixo, temos dois cilindros 1 e 2 que se movem puxados por uma força F → . Os dois cilindros são idênticos, e seus centros estão ligados por uma corda ideal. Os rolamentos são sem deslizamento. Podemos afirmar que:

a) A força de atrito sobre o cilindro 1 está no mesma direção e sentido da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e sentido oposto a esta força.

b) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido da força F → .

c) A força de atrito sobre o cilindro 1 está na mesma direção e sentido oposto ao da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e mesmo sentido desta força.

d) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido, oposto ao da força F → .

e) N.D.A.

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Passo 1

Vamos supor que as duas F a t ' s estão para o mesmo lado como na figura abaixo:

Na figura da esquerda, vemos que a força T é responsável pelo movimento de translação do cilindro enquanto a F a t 2 é a responsável pela rotação pois gera um torque que faz a roda girar no sentido horário.

Já no cilindro da direita, temos o torque da força de atrito e o da força F , mas ainda não sabemos muito sobre essa F a t 1 , até analisar um pouco mais a fundo...

Passo 2

Vamos chamar o Newton pra ajudar!

Pela Segunda Lei de Newton, teremos:

Para o Cilindro 1

- T - F a t 1 + F = M a

Para o Cilindro 2

T - F a t 2 = M a

Somando tudo, teremos:

F - F a t 1 - F a t 2 = 2 M a

Passo 3

Agora, usando o Newton para rotação, teremos:

Para o Cilindro 1

F R + F a t 1 R = I a R

Para o Cilindro 2

F a t 2 R = I a R

Cortando tudo o que tem direito e e substituindo o que der, teremos:

F + F a t 1 = F a t 2

F = F a t 2 - F a t 1

Substituindo na ultima equação do passo anterior, vai ficar:

F a t 2 -   F a t 1 - F a t 1 - F a t 2 = 2 M a

- F a t 1 = M a

E como

M a > 0

Pois a massa é um valor positivo e o módulo da aceleração também é.

Encontramos, por fim, um módulo da Força de Atrito negativo: F a t 1 < 0

O que indica que nossa indicação para a direção da força de atrito do cilindro da direita estava errada. Na verdade, essa força apontava o tempo todo para a direita.

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.1-M01

Um cilindro solido rola sem deslizar, com velocidade angular constante, sobre uma superfície horizontal. Dentre os diagramas abaixo, I ) , I I ) , I I I ) e I V ) , aquele que representa corretamente os vetores velocidade (indicados por setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pontos pertencentes a periferia do cilindro (seção reta), em relação a um referencial fixo na Terra é

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I V
  5. Nenhum deles
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Passo 1

Numa rotação a velocidade de um ponto é

v = R ⋅ ω

Onde R é a distância do centro de rotação até aquele ponto.

Já vimos que quando alguma coisa rola sem deslizar pelo chão o ponto de contato com o chão tem velocidade igual a zero, porque ele é o ponto de rotação.

Então

v C = 0

Passo 2

Se ele roda com velocidade ω e o cilindro tem raio R , vamos ter

v B = R ⋅ ω = R ω

E

v A = 2 R ⋅ ω = 2 R ω

Dessa forma a velocidade em A é o dobro da em B .

O diagrama que mostra isso é o I V

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #4

USP-P3-2013-2

Um cilindro maciço de massa M e raio R é acelerado por uma força de tração T , conforme mostrada na figura, aplicada através de uma corda enrolada em torno de um tambor de raio r conectado concentricamente ao centro do cilindro. Despreze a massa da corda e do tambor e assuma o movimento na horizontal. O coeficiente de atrito estático é suficiente para que o cilindro role sem deslizar. Considerando que a aceleração do cilindro é a e que o momento de inércia é I = M R 2 2 :

a ) Determine a força de atrito em função de M , a , r , R .

b ) Qual valor de r para que a aceleração do cilindro seja maior que T M .

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Passo 1

a )

Vamos primeiramente analisar o movimento de translação do cilindro utilizando a segunda lei de Newton.

F → = m a →

T - F a t = M . a

T = F a t + M . a

Agora vamos aplicar a lei de rotação:

τ → = I α →

Lembrando que τ → = r → × F → :

F a t . R + T . r = I α

Substituindo o T pelo valor que encontramos ao aplicar a lei de translação e o valor do momento de inércia dado pelo enunciado, temos:

F a t . R + F a t + M . a . r = M R 2 2 . α

E agora utilizando a informação de que o cilindro rola sem deslizar, podemos utilizar a relação:

a = α . R

α = a R

Substituindo

F a t . R + F a t + M . a . r = M R 2 2 . a R

Dividindo ambos os lados da equação por R :

F a t + F a t + M . a . r R = M 2 . a

F a t + F a t . r R + M . a . r R = M 2 . a

F a t 1 + r R = M 2 . a - M . a . r R

F a t 1 + r R = M . a 1 2 - r R

F a t R + r R = M . a R - 2 r 2 R

F a t = M . a R - 2 r 2 R R R + r

E finalmente encontramos:

F a t = M . a 2 . R - 2 r R + r

Passo 2

b )

Utilizando a equação de T que encontramos analisando o movimento de translação:

T = F a t + M . a

Substituímos a F a t encontrada no item anterior.

T = M . a 2 . R - 2 r R + r + M . a

Colocando " M . a " em evidência

T = M . a R 2 - r R + r + 1

T = M . a R 2 - r + R + r R + r

T = M . a . 3 2 R R + r

a = T M . 2 3 R + r R

Logo, para que a > T M , temos que ter obrigatoriamente.

2 3 R + r R > 1

2 R + 2 r > 3 R

r > R 2

Resposta

a )   F a t = M . a 2 . R - 2 r R + r

b )   r > R 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ-PF-2014.2-Q2

Um cilindro rígido e homogêneo de massa M e raio R está sobre uma superfície horizontal e pode girar livremente em torno de seu eixo de simetria longitudinal, como indicado na figura. O eixo está preso a uma extremidade de um fio ideal que passa por uma polia ideal e tem em sua outra extremidade um bloco suspenso de massa m . O bloco desce verticalmente com aceleração para baixo e o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície horizontal devido ao seu atrito com ela. O momento de inércia do cilindro relativo ao eixo de simetria é I c m = M R 2 / 2 . Considere como dados M ,   R ,   m   e o módulo g da aceleração da gravidade.

a) Indique todas as forças externas que atuam sobre o bloco e sobre o cilindro.

b) Calcule o módulo da aceleração do bloco;

c) Calcule o módulo da força de atrito sobre o cilindro e indique o seu sentido.

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Passo 1

As forças atuando no cilindro são seu peso P → c , a força normal da superfície N → , a tração do fio T → c , e a força de atrito f → a t .

Tendo rotação, rolamento sem deslizar e tal é normal a gente ficar confuso pra que lado aponta a força de atrito. Nesse caso a gente faz o seguinte: “chuta” um lado e depois vê se vai dar certo! Se no fim o módulo der negativo, basta trocar o sentido! Então digamos que a força de atrito aponta pra esquerda.

Assim, o diagrama das forças atuando no cilindro é:

Passo 2

Vamos ver o bloco agora.

Nele só tem as forças peso P → b e a tração do fio T → b :

Passo 3

b)

Um aviso antes da gente mergulhar de cabeça nas contas: sempre que eu botar um vetor mas sem a flechinha em cima é porque é o módulo dele, beleza? Tipo T b é o módulo de T → b .

Dito isso, vamos aplicar a 2ª lei de Newton pro bloco:

T → b + P → b = m a →

Como ele está descendo, em módulo vamos ter

P b - T b = m a

⇒ m g - T b = m a

Passo 4

Agora vamos pro cilindro! Temos que ficar ligados porque ele, além da translação, tem uma rotação.

Vamos começar aplicando a 2ª lei de Newton pra translação. Seja a → C M   a aceleração do centro de massa do cilindro. Ela é toda pra direita, então no eixo x temos:

T → c + f → a t = M a → C M

Como o cilindro vai pra direita, em módulo temos

T c - f a t = M a C M

Obs: não vamos nos preocupar com as forças no eixo y P → c e N → porque elas não têm importância pra essa questão.

Passo 5

Beleza, agora vamos dar uma olhada na rotação.

As forças peso, normal e de tração estão na direção do centro do cilindro, que é onde fica o eixo de rotação. Então essas forças não realizam torque, somente a f → a t realiza.

O braço da alavanca é o próprio raio R do cilindro, então o torque da força de atrito é dado por:

τ → f a t = - f a t R   k ^

O sinal negativo é porque o torque produzido é no sentido horário, e o sentido anti-horário que é o considerado positivo.

Passo 6

Portanto, pela 2ª lei de Newton,

τ → f a t = - f a t R   k ^ = I α →

A aceleração é no sentido horário, então ela também é negativa:

α → = - α   k ^

Passo 7

Então vamos ter:

- f a t R   k ^ = - I α k ^

Os sinais de negativo vão cortar:

f a t R   k ^ = I α   k ^

E em módulo:

f a t R = I α

Passo 8

Show! De todas essas equações, obtivemos o sistema:

m g - T b = m a T c - f a t = M a C M f a t R = I α

Mas ainda dá pra ajeitar várias coisas aí!

Passo 9

Primeira observação: os fios e a polia são ideais, então as forças de tração e as acelerações nos blocos têm o mesmo módulo! Isto é,

T b = T c = T

a = a C M

Tem que ficar ligado nisso, quase toda questão desse tipo envolve isso!

Passo 10

Outra coisa é que o momento de inércia é I = M R 2 / 2 , então podemos ajeitar a última equação do sistema:

f a t R = I α

⇒ f a t R = M R 2 2 α

⇒ f a t = M R α 2

Passo 11

E também temos a relação

a = α R

Logo,

f a t = M a 2

Passo 12

Beleza, então agora o nosso sistema ficou assim:

m g - T = m a T - f a t = M a f a t = M a 2

Passo 13

Vamos somar as 2 primeiras equações:

m g - T + T - f a t = m a + M a