Rolamento sem Deslizamento

Teoria Completa

O que é Rolamento sem Deslizamento?

Já estudamos movimentos de translação e de rotação. E se juntarmos os dois, o que acontece?

Temos o movimento de rolamento. O exemplo mais simples que eu posso te dar é um roda rolando sobre uma superfície.

Tá, e o que tem de interessante nisso? Já vimos que no movimento de rotação cada ponto em uma roda de raio R que gira com uma velocidade angular ω , tem uma velocidade linear dada por v = ω R .

Se o centro de massa dessa roda também translada com uma velocidade v C M , então cada ponto que falamos anteriormente, terá a sua velocidade modificada, ou seja, temos que somar para cada ponto a velocidade v C M .

Isso fica bem mais fácil de visualizar com essa figura esperta aqui!

Esse é o caso de rolamento sem deslizamento. Tem dois pontos principais que você precisa saber nesse caso:

- A velocidade do centro de massa se relaciona com a velocidade angular por

v C M = ω R

E se derivarmos essa equação em relação ao tempo temos também que

a C M = α R

- A velocidade linear resultante do ponto de contato da roda com o solo é nula. Se o corpo deslizasse a velocidade nesse ponto seria diferente de zero.

SE LIGA NO BIZU FORTE:

Vamos facilitar, imagina que esse disco esteja pintado com várias bolinhas de tinta, e essas bolinhas são capazes de pintar o chão onde elas encostam.

No 1º retângulo, temos o que acontece nesse movimento. Como não há deslizamento, a cada ponto que encosta no chão, o disco deixa uma marca igual àquela que está pintada nele.

Já no 2º retângulo, está o que aconteceria se houvesse deslizamento. Haveriam borrões no piso, mostrando que existe deslizamento junto com o rolamento.

Beleza, então temos o ponto de contato sempre em repouso quando não há deslizamento.

Vamos separar o movimento em dois casos que precisam de uma análise diferenciada: quando o eixo de rotação tem velocidade constante e quando o eixo possui uma aceleração constante.

Movimento do centro de massa com velocidade constante

Nesse caso, o fato de não haver aceleração no corpo nos mostra que não há tendência ao deslizamento no ponto de contato.

Então o corpo segue de boas com velocidade do centro de massa e velocidade angular constantes.

Movimento do centro de massa com aceleração constante

Se liga nesse exemplo:

Sobre uma roda de raio R , atua uma força F → como indicado na figura. Qual o valor da aceleração da roda?

?

Na imagem acima, mostramos as forças que agem sobre a roda.

A força de atrito aponta para a esquerda. Quando você quiser descobrir o sentido da força de atrito, pense no ponto de contato. O ponto de contato O tende a deslizar para qual lado? Para a direita, né? Por quê? Por que a velocidade do centro de massa aponta para a direita (e é ela que aumenta)! Então a F a t irá apontar para a esquerda.

Outra coisa importante aqui é que estamos usando o atrito estático, viu? Isso por que esse ponto de contato está parado ;)

Primeiramente escrevemos a segunda lei de Newton para o movimento horizontal dessa roda

M a = F - F a t

Maneiro! Só nos falta a força de atrito, então é só usar

F a t = μ N

Certo?

ERRADO! Cuidado para não cair nessa pegadinha! A F a t só vale isso quando ela é máxima!

Mas... E agora? Como encontrar o valor da F a t ?

Bem, estamos falando de rotação certo? Quais forças aqui exercem torque? Somente o atrito! Isso porque todas as outras forças apontam na direção do centro de massa da roda.

Se escrevermos a irmãzinha da segunda lei de Newton

τ = I α

O torque, τ , será dado por

τ = F a t R

Como estamos lidando com uma rotação sem deslizamento, podemos usar

a = α R

Substituindo, temos:

F a t R = I α → F a t R = I a R

F a t = I a R 2

Agora podemos voltar para a nossa outra equação

M a = F - F a t = F - I a R 2

Isolando a aceleração

M a + I a R 2 = F → a + I a M R 2 = F M

a 1 + I M R 2 = F M

a = F / M 1 + I M R 2

E aqui está a nossa aceleração!

Energia Mecânica no Rolamento sem Deslizamento

Quando uma bola rola sem deslizar, você sabe dizer qual é energia mecânica envolvida no movimento?

Talvez você tenha pensado “ahh é a energia cinética”, e você está certíssimo. Mas não é qualquer energia cinética, será a energia cinética de rotação mais a de translação. Mas ainda tem como complicar e se a bola estiver acelerando?

Se não há deslizamento podemos dizer que há conservação de energia mecânica que é composta de:

E p + K T r a n s + K R o t = E m e c

Mas caramba, a gente não falou de força de atrito aqui? A energia se conserva nesse caso?

A resposta é SIM! Mas como isso?

No caso de um rolamento sem deslizamento, o ponto de contato com o solo está parado certo? É nesse ponto que o atrito atua também.

A energia que o atrito tiraria do sistema teria que ser dada pelo seu trabalho

W F a t = F a t d

Só que o ponto de contato da roda com o solo está parado! Ou seja, o deslocamento é 0 , o que significa que o trabalho realizado pelo atrito também é zero, assim, conservando a energia mecânica!

O que o atrito está fazendo aqui é converter energia cinética translacional em energia cinética rotacional.

Agora vamo que vamo meter a cara nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-4

Aplica-se uma força de 3000N a um rolo compressor que tem a forma de um cilindro maciço uniforme de raio 0,5m e massa 1000kg, conforme a figura. O cilindro rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. A aceleração do centro de massa e coeficiente de atrito mínimo para impedir o deslizamento valem , respectivamente:

a) 3   m / s 2   e   0,1

b) 3 m / s 2   e   0,2

c) 1   m / s 2   e   0,1

d) 2   m / s 2   e   0,1  

e) 2,5   m / s 2   e   0,2

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Passo 1

Fazendo uma figurinha melhor, haha:

Isolando as forças, teremos:

Passo 2

Achando as equações de Newton do sistema, teremos:

Na vertical:

N - P = 0   ∴ N = P

Na horizontal:

F - F a t = m . a x

3000 - F a t = 1000 . a x

Como ele quer o coeficiente mínimo, temos que garantir que a força de atrito seja estática em seu valor máximo, ou seja:

3000 - μ . 1000.10 = 1000 . a x

3 - 10 μ = a x

Torque:

Como as forças N → ,   P →   e   F →   têm linha de atuação que apontam para o centro da face do cilindro, não realizam torque, logo, somente a força de atrito causará torque:

F a t . R =   τ = I . α

10000 μ . 0,5 = I . α

Passo 3

Sabemos que o nosso α é dado por:

α = a X R = a x 0,5 = 2 a x

Além disso, “sabemos”, ou deveríamos saber que o momento de inércia do cilindro com seu eixo de rotação no centro da face é dado por:

I = M R 2 2

10000 μ . 0,5 = 1000.0,5 2 2 . 2 a x

5 μ = 0,25 a x

a x = 20 μ

Passo 4

Substituindo esse último resultado na equação de Newton com as forças verticais, teremos:

3 - 10 μ = a x = 20 μ

30 μ = 3

μ = 0,1

Como a x = 20 μ :

a x = 2 m / s 2

Resposta

d) 2   m / s 2   e   0,1  

Exercício Resolvido #2

USP- PSUB-2015-Q2

Na figura abaixo, temos dois cilindros 1 e 2 que se movem puxados por uma força F → . Os dois cilindros são idênticos, e seus centros estão ligados por uma corda ideal. Os rolamentos são sem deslizamento. Podemos afirmar que:

a) A força de atrito sobre o cilindro 1 está no mesma direção e sentido da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e sentido oposto a esta força.

b) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido da força F → .

c) A força de atrito sobre o cilindro 1 está na mesma direção e sentido oposto ao da força F → , e a força de atrito sobre o cilindro 2 está na mesma direção e mesmo sentido desta força.

d) As forças de atrito sobre os cilindros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido, oposto ao da força F → .

e) N.D.A.

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Passo 1

Vamos supor que as duas F a t ' s estão para o mesmo lado como na figura abaixo:

Na figura da esquerda, vemos que a força T é responsável pelo movimento de translação do cilindro enquanto a F a t 2 é a responsável pela rotação pois gera um torque que faz a roda girar no sentido horário.

Já no cilindro da direita, temos o torque da força de atrito e o da força F , mas ainda não sabemos muito sobre essa F a t 1 , até analisar um pouco mais a fundo...

Passo 2

Vamos chamar o Newton pra ajudar!

Pela Segunda Lei de Newton, teremos:

Para o Cilindro 1

- T - F a t 1 + F = M a

Para o Cilindro 2

T - F a t 2 = M a

Somando tudo, teremos:

F - F a t 1 - F a t 2 = 2 M a

Passo 3

Agora, usando o Newton para rotação, teremos:

Para o Cilindro 1

F R + F a t 1 R = I a R

Para o Cilindro 2

F a t 2 R = I a R

Cortando tudo o que tem direito e e substituindo o que der, teremos:

F + F a t 1 = F a t 2

F = F a t 2 - F a t 1

Substituindo na ultima equação do passo anterior, vai ficar:

F a t 2 -   F a t 1 - F a t 1 - F a t 2 = 2 M a

- F a t 1 = M a

E como

M a > 0

Pois a massa é um valor positivo e o módulo da aceleração também é.

Encontramos, por fim, um módulo da Força de Atrito negativo: F a t 1 < 0

O que indica que nossa indicação para a direção da força de atrito do cilindro da direita estava errada. Na verdade, essa força apontava o tempo todo para a direita.

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.1-M01

Um cilindro solido rola sem deslizar, com velocidade angular constante, sobre uma superfície horizontal. Dentre os diagramas abaixo, I ) , I I ) , I I I ) e I V ) , aquele que representa corretamente os vetores velocidade (indicados por setas) dos pontos A (topo), C (base) e B (centro), pontos pertencentes a periferia do cilindro (seção reta), em relação a um referencial fixo na Terra é

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I V
  5. Nenhum deles
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Passo 1

Numa rotação a velocidade de um ponto é

v = R ⋅ ω

Onde R é a distância do centro de rotação até aquele ponto.

Já vimos que quando alguma coisa rola sem deslizar pelo chão o ponto de contato com o chão tem velocidade igual a zero, porque ele é o ponto de rotação.

Então

v C = 0

Passo 2

Se ele roda com velocidade ω e o cilindro tem raio R , vamos ter

v B = R ⋅ ω = R ω

E

v A = 2 R ⋅ ω = 2 R ω

Dessa forma a velocidade em A é o dobro da em B .

O diagrama que mostra isso é o I V

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #4

USP-P3-2013-2

Um cilindro maciço de massa M e raio R é acelerado por uma força de tração T , conforme mostrada na figura, aplicada através de uma corda enrolada em torno de um tambor de raio r conectado concentricamente ao centro do cilindro. Despreze a massa da corda e do tambor e assuma o movimento na horizontal. O coeficiente de atrito estático é suficiente para que o cilindro role sem deslizar. Considerando que a aceleração do cilindro é a e que o momento de inércia é I = M R 2 2