Enunciado

6 . O cubo na Figura E 22.6 possui uma aresta L = 10,0   c m . O campo elétrico é uniforme, paralelo ao plano x y , formando um ângulo de 53,1 ° , medido do eixo + x para o eixo + y , e possui módulo E = 4,00 × 10 3   N / C .

( b ) Qual é o fluxo elétrico total através de todas as faces do cubo?

Passo 1

Vamos mostrar para essa questão quem manda? Vem comigo!

O fluxo do campo elétrico através de uma superfície é dado por:

Φ E = E → ⋅ A →

⇒ Φ E = E A cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo que o vetor campo elétrico faz com a superfície que estamos interessados em calcular o fluxo.

Temos também que A → = A n ^ , onde n ^ é o vetor normal (apontando para fora) a superfície que estamos calculando o fluxo, então θ é o ângulo entre n ^ e E → .

Depois que calcularmos o fluxo através de todas as faces do cubo basta somarmos todos esses fluxos, que aí teremos o fluxo total sobre o cubo, que é a mesma coisa que o item ( b ) pede.

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando com S 1 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - y ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 90 ° - 53,1 ° = 36,9 °

Já que 53,1 ° é o ângulo que o campo faz com o eixo x .

Então, lembrando que a área A é a área de um quadrado de lado 0,10   m , temos que:

Φ E = - ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 36,9 ° )

⇒ Φ E = - 32   N ⋅ m 2 / C

Passo 3

Agora para S 2 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = z ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 90 °

Então, temos que:

Φ E = - ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 90 ° )

⇒ Φ E = 0

Passo 4

Agora para S 3 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = y ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 90 ° - 53,1 ° = 36,9 °

Já que 53,1 ° é o ângulo que o campo faz com o eixo x .

Então, temos que:

Φ E = ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 36,9 ° )

⇒ Φ E = 32   N ⋅ m 2 / C

Passo 5

Agora para S 4 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - z ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 90 °

Então, temos que:

Φ E = - ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 90 ° )

⇒ Φ E = 0

Passo 6

Agora para S 5 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = x ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 53,1 °

Já que 53,1 ° é o ângulo que o campo faz com o eixo x .

Então, temos que:

Φ E = ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 53,1 )

⇒ Φ E = 24   N ⋅ m 2 / C

Passo 7

Agora para S 6 .

O vetor normal dessa superfície é n ^ = - x ^ e o ângulo θ nesse caso vai ser:

θ = 53,1 °

Então, temos que:

Φ E = - ( 4 × 10 3 ) ( 0,01 ) cos ⁡ ( 53,1 )

⇒ Φ E = - 24   N ⋅ m 2 / C

Passo 8

A gora vamos somar todos os fluxos que calculamos para encontrar o fluxo total, temos:

Φ T = - 32   N ⋅ m 2 / C + 0 + 32   N ⋅ m 2 / C + 0 + 24   N ⋅ m 2 / C - 24   N ⋅ m 2 / C

⇒ Φ T = 0

Então o fluxo total do campo através do cubo é zero, isso quer dizer que todo o campo elétrico que entra no cubo sai.

Resposta

Φ T = 0

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