Enunciado

Denomina-se coroa anular um disco fino de raio externo R 2 com um buraco circular concêntrico de raio interno R 1 (Figura 21.51 ). Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície. a Determine a carga total sobre a coroa anular. b A coroa anular está sobre o plano y z com seu centro na origem. Para um ponto arbitrário sobre o eixo O x (o eixo de simetria da coroa anular), determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → . Considere todos os pontos acima e abaixo do plano da coroa anular da Figura 21.51 . c Mostre que, para os pontos sobre o eixo O x suficientemente próximos da origem, o módulo do campo elétrico é aproximadamente proporcional à distância entre o centro da coroa e o ponto considerado. Qual é a distância que pode ser considerada “suficientemente próxima”? d Uma partícula puntiforme com massa m e carga - q pode se mover livremente sobre o eixo O x (mas não pode sair desse eixo). A partícula é inicialmente colocada sobre o ponto x = 0,01 R 1 e, a seguir, liberada. Determine a frequência das oscilações da partícula. (Sugestão: faça uma revisão da seção 13.2 . A coroa anular permanece em repouso.)

Passo 1

Dada a informação de que a partícula irá oscilar somente no eixo x , isso significa que o seu movimento é do tipo harmônico simples por passar em um ponto de equilíbrio e ser linear.

Lembrando que a frequência do movimento harmônico simples é dado por:

f = 1 2 π k m

Resta nós encontrarmos qual o valor da variável k !

Passo 2

Para tanto, é de nosso conhecimento que a força atuante no MHS é a força elástica da Lei de Hooke:

F x = - k x

E, a partir da equação de campo elétrico, a força gerada por ele tem a forma:

F x = q E x = - q σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2 x

Então, igualando ambas as forças:

- k x = - q σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2 x

Concluímos que:

k = q σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2

Passo 3

Então, substituindo na equação da frequência, ela vai resultar em:

f = 1 2 π 1 m q σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2

Resposta

1 2 π 1 m q σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2

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