Enunciado

Uma pequena esfera de massa m , com uma carga positiva q , é ligada à extremidade de um fio de seda de comprimento L . A outra extremidade do fio está presa a uma grande placa isolante vertical, que possui uma densidade superficial de carga σ . Mostre que, quando a esfera está em equilíbrio, o ângulo formado entre a vertical e o fio é igual a ( q σ / 2 m g ϵ 0 ) .

Passo 1

Para analisar a condição de equilíbrio da esfera, vamos fazer um diagrama de corpo livre e esboçar uma suposta configuração em que as forças que agem sobre ela estão indicadas. Dessa forma, obtemos:

A força elétrica sobre a esfera é horizontal pelo fato da placa gerar um campo elétrico horizontal devido a simetria planar (campo elétrico com sentido radial).

Assim, montando as equações de equilíbrio, temos para o eixo horizontal:

T s e n θ = q E → T = q E s e n θ

E para o eixo vertical:

T c o s θ = m g → T = m g c o s θ

Igualando a força T sobre o fio, relacionamos ambas as equações resultando em:

q E s e n θ = m g c o s θ

t g θ = q E m g

Isolando o ângulo a ser determinado:

θ = t g - 1 q E m g

Passo 2

A única variável que não temos o valor conhecido para calcular o ângulo é o campo elétrico gerado pela placa. Portanto, usando a equação do campo para uma plano infinito temos:

E = σ 2 ϵ 0

E, substituindo na equação do ângulo:

θ = t g - 1 q m g σ 2 ϵ 0

Logo:

θ = t g - 1 q σ 2 m g ϵ 0

Resposta

t g - 1 q σ 2 m g ϵ 0

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