Enunciado

Um destroier estacionário é equipado com sonar que envia pulsos de som de 40 MHz. O destroier recebe pulsos de volta de um submarino diretamente abaixo, com um atraso de tempo de 80 ms a uma frequência de 39,958 MHz. Se a velocidade do som na água do mar é de 1,54 km / s, (a) qual é a profundidade do submarino? (b) Qual é a sua velocidade vertical?

Passo 1

a) Então, a gente tem um destroier e um submarino, e queremos saber a distância entre eles. O enunciado diz que uma onda que sai do destroier, chega no submarino, e depois volta leva 80 m s nesse trajeto.

E ele também dá a velocidade dessa onda. Cara, percebe, temos a variação de tempo e a velocidade, e queremos achar uma distância. Que fórmula relaciona essas grandezas?

A da velocidade média! Olha ela:

v = ∆ x ∆ t

A onda foi e voltou, então a distância d entre o submarino e o destroier é a metade dessa distância, logo, podemos escrever:

∆ x = 2 d

Substituindo na velocidade média:

v = 2 d ∆ t

Isolando d :

d = v ∆ t 2

Listando nossos dados e passando eles para o SI

v = 1,54 k m s = 1,54 × 10 3   m / s

Δ t = 80   m s = 80 × 10 - 3 s

Substituindo na expressão de d :

d = 1,54 × 10 3 80 × 10 - 3 2 ≈ 62   m

Passo 2

b) Na letra (b), vamos precisar usar a equação do efeito Doppler para frequência da onda recebida pelo submarino. Porque conseguimos achar a partir dela a velocidade do submarino a partir das frequências da onda (emitida e recebida pelo destroier) e da sua velocidade.

Vamos ter dois momentos.

No primeiro a gente vai achar a expressão da frequência recebida pelo submarino em função da velocidade dele. Mas como a gente só tem o valor da frequência recebida pelo destroier, a gente vai precisar achar a expressão dessa frequência recebida também.

Para o primeiro caso, a fórmula do efeito Doppler é

f s = v ± u s v ± u d f d

Onde v é a velocidade de propagação da onda no meio em questão, u s é a velocidade do submarino, u d é a velocidade do destroier, f d é a frequência emitida pelo destroier e f s é a frequência recebida pelo submarino.

Precisamos agora avaliar que sinais usar na fórmula.

Como a frequência da onda recebida é menor do que a da enviada, podemos chegar à conclusão que o submarino está descendo, ou seja, está se afastando do destroier.

Nosso referencial precisa ser o sentido que sai do observador (submarino) e vai para fonte(destroier), aí velocidade que estiver nesse sentido (que estiver para cima) vai ser positiva. Então, como o submarino está descendo, sua velocidade é negativa.

Aí usamos - u s na fórmula, e como o destroier está parado u d = 0 , e ficamos com:

f s = v ± u s v ± u d f d

f s = v - u s v f d

Repara que não temos f s e u s , então precisamos de mais uma equação.

Passo 3

Chegamos no segundo momento.

E agora podemos escrever a equação da frequência recebida pelo destroier após as ondas refletirem no submarino, trataremos ele como se fosse uma fonte, a equação da frequência do destroier será:

f d ' = v ± u d v ± u s f s

Temos que f s é a frequência que é refletida pelo submarino e f d ' é a frequência recebida pelo destroier.

Agora presta a atenção nesses sinais. Nosso sentido vai precisar ser semelhante ao anterior, saindo do observador e chegando na fonte. Só que quem recebe a onda agora é o destroier! Ele é o nosso novo observador. Então nosso sentido sai do destroier e chega no submarino.

Ou seja, as velocidades estarão positivas se estiverem para baixo, porque o submarino está abaixo do destroier. Assim, como a velocidade do submarino é para baixo, ela aparece com sina de menos, e a velocidade do destroier continua sendo zero, então:

f d ' = v v + u s f s

Passo 4

Substituindo nessa equação a equação do Passo 2:

f s = v - u s v f d

f d ' = v v + u s f s

f d ' = v v + u s v - u s v f d

Simplificando:

f d ' = v - u s v + u s f d

Isolando u s , que é quem queremos encontrar:

f d ' f d = v - u s v + u s → f d ' f d v + f d ' f d u s = v - u s

u s + f d ' f d u s = v - f d ' f d v → u s 1 + f d ' f d = v 1 - f d ' f d

u s f d + f d ' f d = v f d - f d ' f d

Finalmente chegamos a

u s = f d - f d ' f d + f d ' v

Percebe que a gente tem essa velocidade do meio que é

v = 1,54 k m / s = 1,54   × 10 3 m / s

E as frequências de emissão do destroier

f d = 40   M H z = 40 × 10 6   H z

E a frequência que ele recebe

f d = 39.958 M H z = 39.958 × 10 6 H z

Passo 5

Substituindo valores numéricos:

u s = f d - f d ' f d + f d ' v

u s = 40 × 10 6   H z - 39.958 × 10 6   H z 40 × 10 6   H z + 39.958 × 10 6   H z 1.54 × 10 3 m s

u s = 0.81   m / s

Resposta

u s = 0.81   m / s

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